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Ce modèle mathématique du DR400/180 s'appuie sur les notations et formules de base présentées dans les pages atmosphère et aérodynamique. Les notations ne seront pas explicitées ici pour éviter les redites.
Le modèle est constitué d'une aile unique paramétrée pour être aussi proche que possible de l'avion réel.
Cz et Cx sont définis par :
Conformément à ce que nous avons vu au § 5 de la page
aérodynamique, la surface S utilisée dans les
équations aérodynamiques du modèle apparait
comme une constante multiplicative arbitraire, puisque les
paramètres a, b et c interviennent toujours (comme Cx et Cz)
en facteur avec S, ce qui fait que les "vrais" paramètres
sont a S, b S et c S.
Nous prendrons S = Sa (surface alaire donnée par
le manuel de vol), ce qui fait de e = a2 / (π
λ c) un bon indicateur de l'efficacité
aérodynamique de notre avion, comme le coefficient d'Oswald
aa2 / (π λ ca) est un
bon indicateur de l'efficacité de l'aile seule.
Pour obtenir une représentation graphique de la courbe Cz(α) similaire aux courbes trouvées dans la littérature, il nous faut faire quelques hypothèses complémentaires pour α > αd - 2.
Nous avons déjà vu que le Cz maximum Czmax est obtenu pour α = αd, et admis que Czmax = a (αd - 1).
Nous pouvons définir les points de la courbe Cz(α) comme suit au voisinage de α = αd :
α Cz(α) remarques αd - 2 a (αd - 2) dernier point de Cz(α) sur la droite Cz = a α αd - 1 a (αd - 1,25) point de la droite translaté de 0,25 à droite αd Czmax = a (αd - 1) point de la droite translaté de 1 à droite αd + 1 a (αd - 1,25) construit par symétrie par rapport à αd αd + 2 a (αd - 2) construit par symétrie par rapport à αd
Les deux derniers points de la courbe sont "encore plus arbitraires" que les précédents, il est donc bien clair qu'aucune utilisation du modèle ne sera possible au-delà de α = αd.
Un calcul élémentaire montre que de α = αd - 2 à α = αd + 2, Cz(α) = a [αd - (αd - α)2 / 4] ; on note que dCz/dα = a (αd - α)/ 2 et donc que pour α = αd - 2, dCz/dα = a ce qui assure un raccordement correct avec la droite Cz = a α.
Pour chacune des trois configurations possibles (lisse, 1 cran de volets ou 2 crans de volets) on définit le modèle par 5 paramètres a, b, c, K, et αd, ce qui donne 15 paramètres.
A ces 15 paramètres s'ajoutent des paramètres globaux :
Soit, dans le cas du DR400/180, 15 + 9 = 24 paramètres. La surface S, que nous avons arbitrairement prise comme égale à la surface alaire Sa, n'apparait bien sûr plus parmi les paramètres. Quand à l'allongement de l'aile λ, il n'est utilisé que dans l'expression de l'indicateur e = a2 / (π λ c) et pour l'étude de l'effet de sol où il intervient indirectement par l'envergure E.
L'idée générale est que ces
paramètres doivent nous permettre de calculer toutes les
performances de l'avion.
Réciproquement, nous espérons que le manuel de vol,
qui fournit déjà explicitement 6 paramètres
(mMd, mMa, Sa, λ,
P0 et n0), nous donnera assez d'informations
sur les performances pour nous permettre de déterminer les
18 autres paramètres par le calcul1.
L'équation (11) établie au § 6 de la page
aérodynamique donne
Vs2 = 2 m g / [a ρ S (αd - 1)].
Avec S = Sa, cette équation permet de
déterminer le produit a (αd - 1) =
Czmax connaissant m et ρ.
Le manuel de vol indique que la vitesse Vs0 de décrochage
avec 2 crans de volets est égale à 95 km/h "au poids
maximum", ce qui ne dit pas si c'est à la masse maximum
à l'atterrissage mMa = 1 045 kg ou à la
masse maximum au décollage mMd = 1 100 kg.
Mais par ailleurs, il précise que lors de l'atterrissage
avec 2 crans de volets et (là c'est explicite) m =
mMa, l'approche se fait à la vitesse
indiquée conseillée de 125 km/h. Il ajoute que cette
vitesse correspond à 1,3 Vs0. Pour des raisons de
cohérence, cette dernière remarque milite pour que
Vs0 soit aussi donnée pour m = mMa ; mais 1,3 x
95 = 123,5 km/h et non 125 km/h, donc "ça ne colle pas".
Connaissant la précision des pilotes d'essais, on se dit qu'il y a une raison :
Cette dernière hypothèse n'entraîne pas d'énormes différences avec la première, et est quand même plus intéressante. C'est celle que nous retiendrons. On admettra donc que pour 2 crans de volets, Vs0 = 96,2 km/h (CAS), et que la vitesse de 95 km/h (IAS) qui est alors indiquée nécessite une petite correction dûe au grand angle d'incidence. Par similitude avec les données d'autres avions, on peut admettre que l'erreur décroit quand on passe de 2 crans à 1 cran puis en lisse.
On obtient alors le tableau suivant :
Configuration Vs manuel de vol (IAS) Vs retenue (CAS) lisse Vs1 = 105 km/h Vs1 = 105,8 km/h 1 cran - 15° Vs = 99 km/h Vs = 100,0 km/h 2 crans - 60° Vs0 = 95 km/h Vs0 = 96,2 km/h
Sachant que les vitesses de décrochage sont
données par le manuel de vol pour ρ = ρ0,
on a Czmax = 2 mMa g / [ρ0 S
Vs2].
Avec mMa = 1 045 kg, g = 9,80665 m/s2,
ρ0 = 1,225 kg/m3 et S = Sa =
14,2 m2, on obtient :
C'est plausible d'après les valeurs que l'on trouve dans la littérature.
Par ailleurs, plusieurs sources concordantes indiquent que
lorsqu'on passe successivement d'une configuration lisse à 1
cran puis 2 crans de volets, le coefficient a n'augmente pas ou
très peu, mais que ce sont αd et surtout K
qui augmentent. Pour ce dernier, nous l'avions déjà
vu dans le dossier aérodynamique.
Donc, pour la suite, j'admets que le paramètre "a" a la
même valeur pour un et deux crans de volets qu'en
lisse.
Du fait que Czmax = a (αd - 1),
αd et a sont liés. Avec a constant, et
αd = 15° en lisse (valeur a priori basse), on
a avec 2 crans de volets : αd - 1 = (15 - 1) x
1,65 / 1,36 et donc αd = 17,985° (valeur a
priori haute).
Il est donc très probable que αd = 15°
en lisse soit une bonne approximation, et que de ce fait a =
Czmax / (αd - 1) = 1,36 / 14 soit une
bonne estimation initiale de a.
Selon le manuel de vol du DR400/180, la finesse maximum fmax = max (Cz / Cx) = 9,5 est obtenue en lisse. Cette valeur de 9,5 semble prudente, et d'autres sources donnent d'ailleurs 10.
Par contre, le manuel de vol n'indique pas explicitement à quelle masse est donnée la vitesse de finesse maximum Vf ; comme la donnée de Vf suit le tableau des performances en palier qui est donné pour m = mMd = 1 100 kg, on peut penser que c'est aussi le cas pour Vf, mais sans certitude.
Nous tenterons de lever ce doute au paragraphe 2.4.
On a vu au § 10 de la page aérodynamique que le manuel de vol fournit, dans des conditions précisées (type d'hélice, masse m, etc.), un tableau des performances en palier qui donne la valeur de la vitesse Vc pour différentes valeurs de l'altitude pression Zp (et donc de ρ), de la puissance P donnée par P / P0 et du régime n.
Les tableaux correspondant à quelques types d'hélice sont repris dans le fichier Excel v_crois.xls (pour le récupérer, clic droit et "Enregistrer la cible sous..." ou page Téléchargement). La suite utilise la première feuille de calcul, qui porte sur l'hélice bipale à pas fixe Sensenich ou Hoffmann, et pour laquelle les performances sont données pour Pmax = 180 HP, et avec m = mMd = 1 100 kg.
Pour chaque ligne de ce tableau, les données doivent
vérifier les équations (20), (21) et (22). Ces
équations ont donc été entrées dans la
feuille de calcul.
Les cases en bleu sont les paramètres explicitement
donnés par le manuel de vol, et les cases en vert les
paramètres que l'on cherche à déterminer. Le
paramètre K n'apparait pas, ce paramètre ayant
disparu des équations du fait de l'approximation α - K
# 0.
Remarque : on se limite aux lignes complètement renseignées, c'est-à-dire celles pour lesquelles le manuel de vol donne bien le régime du moteur ; les autres lignes font par curiosité l'objet d'investigations, mais ne sont pas prises en compte pour la recherche des paramètres optimums.
A titre indicatif, une colonne rendement donne la valeur de r = T V / P, sachant que T est donné par l'équation (13) T = Qh P / n + Uh ρ V2 ; donc r = Qh V / n + Uh ρ V3 / P.
Avec a (ou αd plus "parlant"), b et c donnés, la feuille de calcul permet par exemple de rechercher quelle valeur de Qh donne une valeur constante de Uh. Il suffit pour celà de minimiser, à l'aide de la fonction solver, la somme des écarts entre la valeur de Uh trouvée sur chaque ligne et la valeur moyenne de Uh sur l'ensemble des lignes.
Mais avant d'utiliser cette feuille de calcul, on doit vérifier la vraisemblance de sa première ligne (vitesse de croisière Vc à puissance maximum), et sa cohérence avec les autres données du manuel de vol, dont fmax et Vf.
Les calculs présentés ici sont
réalisés à l'aide d'un tableur Excel dans le
fichier coherenc.xls (pour le récupérer, clic
droit et "Enregistrer la cible sous..." ou page Téléchargement).
Pour conserver la convention déjà utilisée,
les cases en bleu sont les paramètres explicitement
donnés par le manuel de vol, et les cases en vert les
paramètres que l'on cherche à déterminer.
Pour limiter le nombre de paramètres à faire varier, on peut éliminer le paramètre a qui est à peu près connu, et pour cela se fixer αd = 15° en lisse qui, comme on l'a vu, est une valeur très probable.
Il s'agit d'abord de répondre à la question du paragraphe 2.2, qui est de savoir si, pour les valeurs fmax = 9,5 et Vf = 150 km/h, la valeur de Vf a été donnée pour m = mMd ou pour m = mMa. En fonction de l'hypothèse sur m, il est facile de calculer b et c en fonction de ces valeurs de fmax et Vf.
La première ligne du tableau des performances, donnant la vitesse de croisière Vc dans le cas où P = P0 au niveau de la mer, est suffisante pour étudier les deux cas possibles :
Donc la comparaison semble pencher en faveur de m = mMa, mais elle met surtout en lumière l'incohérence des données fmax, Vf et Vc du manuel de vol.
Pour être complet dans l'étude de la vraisemblance
des données du manuel de vol, on peut ajouter la seule
performance donnée en lisse et que nous n'ayons pas encore
prise en compte : la vitesse optimum de montée.
Sur une des pages de procédures normales, cette vitesse est
donnée entre 160 et 170 km/h et, une fois de plus, la masse
n'est pas précisée même si s'agissant d'une
montée après décollage on peut deviner qu'elle
est donnée avec m = mMd.
Sur la page des performances de montée, elle est
donnée à 170 km/h avec une vitesse verticale VZ = 4,2
m/s (= 830 ft/min) pour ρ = ρ0 et m =
mMd ; pour ρ = ρ0 et m = 900 kg, on
nous dit que VZ = 5,8 m/s (= 1 140 ft/min) sans autre
précision sur ce qu'est devenue la vitesse.
Malheureusement, cette vitesse optimum n'est pas forcément
la vitesse de montée à taux maximum que l'on peut
noter VY, mais peut lui être supérieure de
façon à garantir un meilleur refroidissement du
moteur ; nous admettrons que VY = vitesse de montée optimum
+ 0 - 10 km/h, et que du même coup VZ ≥ 830 ft/min.
Enfin, le manuel de vol ne donne pas la vitesse VX de
montée à pente maximum en lisse, mais donne VX = 130
km/h avec un cran de volets, et par le contexte on peut penser que
c'est à m = mMd. On peut s'attendre à ce
qu'en lisse on ait aussi une vitesse VX voisine de 130 km/h.
On a donc trois vitesses à puissance maximum données
pour m = mMd, Vc en palier, VY et VX en montée.
Il est intéressant de vérifier si la formule
approchée VX4 = (3 VY2 -
Vc2) / (Vc-2 + VY-2)
s'applique.
Avec Vc = 278 km/h, VY = 160 km/h donne un calcul impossible pour
VX puisque (3 VY2 - Vc2) est négatif,
VY = 165 km/h donne VX = 97 km/h (!!), et VY = 170 km/h donne VX =
119 km/h.
On peut déjà affirmer que Vc = 278 km/h est
optimiste. Plus précisément, pour que VX = 130
km/h, il faut que Vc = 247 km/h pour VY = 160 km/h, Vc = 259 km/h
pour VY = 165 km/h et Vc = 270 km/h pour VY = 170 km/h.
On peut manipuler les données du manuel de vol dans tous
les sens, il faut bien admettre que pour ce qui est des
paramètres en lisse, le manuel de vol est un peu la
bouteille à l'encre : tout dépend des performances
que l'on décide de croire, sachant que le modèle ne
saurait les retrouver toutes dès lors qu'on a établi
qu'elles sont contradictoires comme le prouve le rapprochement de
Vc, fmax et Vf, ou Vc, VY, et VX, et d'autres
rapprochements similaires.
De plus, quand on trouve un sous-ensemble cohérent des
performances, il conduit le plus souvent à des valeurs trop
optimistes (élevées) de e et de r : il est difficile
d'admettre que e = 0,9 ou r = 0,95 quand toutes les sources
indiquent des valeurs typiques bien plus basses, par exemple e
compris entre 0,7 et 0,8 et r de l'ordre de 0,84 ou 0,85 en
croisière.
Plutôt que de justifier un choix forcément contestable, je préfère adopter la démarche suivante, que chacun pourra adapter :
Bien que ma première demande auprès de Robin
Aviation sur les distances d'atterrisage avec un cran de volets se
soit soldée par une fin de non recevoir, j'espère que
j'aurai cette fois une réponse sur les compléments au
manuel de vol.
A défaut, je me rabattrai sur mes propres estimations par
mesure des performances réelles d'un avion particulier en
espérant qu'il soit représentatif.
Il est commode, pour vérifier ce qui suit sur des exemples numériques, de se reporter à la feuille Excel coherenc.xls présentée plus haut.
On a vu que pour limiter le nombre de paramètres, on adopte la valeur très probable αd = 15° en lisse qui, avec S = Sa = 14,2 m2, détermine le paramètre a.
Le choix de fmax et Vf (supposés données pour m = mMa) entraine la détermination des paramètres b et c en lisse, ainsi que la valeur de e (ce qui permet d'éliminer d'emblée des hypothèses irréalistes sur fmax et Vf.
Pour une même valeur finale de e, chaque fois qu'on
augmente fmax de 0,5 on doit augmenter Vf de 3 à
4 km/h. Mais on pourra constater au point suivant que pour une
même valeur finale du rendement r on se rapproche alors de 3%
soit environ 8 km/h de la valeur donnée pour Vc par le
manuel de vol.
Le même calcul avec m = mMd, donne la même
correspondance entre fmax et Vc à condition de
majorer Vf de 3 à 4 km/h ce qui nous éloigne encore
plus des données du manuel de vol. Ce qui confirme la
pertinence du choix m = mMa pour la donnée de
Vf.
Le choix de Vc (via un coefficient modérateur
appliqué à la valeur Vc = 278 km/h donnée par
le manuel de vol) influe sur le rendement d'hélice r, sur la
valeur de VY et sur la valeur correspondante VZmax de VZ. Le choix
de Qh ne joue que sur les deux derniers (VY et VZmax).
Il est donc commode de modifier Vc pour obtenir un rendement r
présummé normal, puis de régler Qh pour
obtenir la valeur de VZmax voulue. Mais on peut procéder
dans un autre ordre.
Les valeurs résultantes de VY et VX constituent des
indicateurs de vraisemblance des paramètres auxquels on est
parvenu.
En attendant mieux (données corrigées de Robin Aviation ou mesures sur un avion supposé représentatif), je choisis donc un compromis raisonnable comme hypothèse de travail :
Explication du choix de K
Pour une pente donnée γ, K fixe le lien entre
α et l'assiette θ par θ + K = γ + α,
soit θ = γ + α - K
Le mieux serait d'attendre l'étude de l'atterrissage pour
caler θ à une valeur habituelle de 5 ou 6° au
moment du toucher des roues. Mais on peut trouver une valeur
raisonnable en attendant, en prenant l'hypothèse d'une
assiette nulle à la vitesse de croisière à
100% de Pmax ; comme la pente est alors nulle (vol horizontal), on
a bien K = α # 2,7°
Si on utilise ces paramètres, le tableau v_crois.xls des performances en croisière fait apparaître des vitesses de croisière de 83 à 89 % de celles données par le manuel de vol, donc significativement plus basses. Dans le même temps, on constate que le rendement r varie entre 0,82 et 0,84 ce qui est un peu bas et laisse penser que les vitesses de croisière ainsi trouvées sont un peu pessimistes. Mais je les crois néanmoins plus proches de la réalité que celles du manuel de vol...
Le document de travail pour ce paragraphe sera le fichier Excel modele.xls (pour le récupérer, clic droit et "Enregistrer la cible sous..." ou page Téléchargement), en commençant par la feuille de calcul "Graphes".
On a vu que a variant peu en fonction de la configuration, on peut admettre que ce paramètre a la même valeur pour un et deux crans de volets qu'en lisse, soit a = 0,097 44. Les valeurs de αd pour un et deux crans de volets en découlent.
Avec b, c et K en lisse définis au paragraphe précédent, on a donc déterminé à ce stade les paramètres suivants :
Configuration a b c K αd lisse 0,097 44 0,034 14 0,000 77 2,7 15,0 1 cran - 15° 0,097 44 16,7 2 crans - 60° 0,097 44 17,9
On appelle polaire la courbe représentant Cz en fonction de Cx pour une configuration donnée (lisse, 1 cran ou 2 crans de volets). Elle est facile à tracer à l'aide d'un tableur, puisqu'il suffit de faire varier α de 0 à αd par pas de 1°, de calculer Cz et Cx pour chaque valeur de α, et de tracer le graphe (graphe "nuage de points") de Cz en fonction de Cx.
On a intérêt à tracer les trois polaires, correspondant aux trois configurations, sur un même graphe. Il suffit pour cela de placer toutes les valeurs calculées les uns à la suite des autres :
Le graphe "nuage de points" fait sur les deux colonnes Cz et Cx donne les trois courbes regroupées. L'avantage est que maintenant on peut faire varier les paramètres b, et c des configurations 1 cran et 2 crans de volets et voir se déplacer les courbes en fonction des choix de ces paramètres. On note que, comme prévu, K n'intervient ni sur Cx(α) ni sur Cz(α)
On peut aussi tracer les graphes de Cx en fonction de α, Cz en fonction de α et Cz en fonction de α - K (α - K est l'angle entre le vent relatif et l'axe de fuselage, habituellement appelé l'incidence d'avion) ; cette dernière présentation a l'avantage de ressembler à celles que l'on rencontre fréquemment dans la littérature. Et aussi l'avantage d'illustrer le rôle de K. C'est d'ailleurs la seule courbe qui bouge avec K.
Tout cela est réalisé dans la feuille "Graphes" du fichier Excel modele.xls qui permet de voir immédiatement le résultat : courbes, et évolution de ces courbes en fonction des paramètres.
Le plus surprenant est que
alors la plage de réglage des paramètres restants s'avère assez faible.
Cela laisse penser que malgré le côté arbitraire de cette détermination graphique des paramètres, il y a de bonnes chances pour que le modèle soit proche de la réalité.
Néanmoins, il ne s'agit pas de s'arrêter là. La méthode que je me suis fixée consiste à enrichir le modèle en remplaçant dès que possible les paramètres "pifométrés" par des paramètres calculés, et les paramètres calculés sur des hypothèses ténues par des paramètres calculés sur des données précises. Par exemple, K en lisse déterminé par l'assiette nulle à la vitesse de croisière est à retoucher si on a une donnée plus crédible. De même, on retouchera les paramètres b et c de la configuration 2 crans de volets pour mieux coller au tableau des distances d'atterrissage donné par le manuel de vol.
Le tableau des paramètres est, pour l'instant, le suivant :
Configuration a b c K αd lisse 0,097 44 0,034 14 0,000 77 2,7 15,0 1 cran - 15° 0,097 44 0,046 00 0,000 80 5,0 16,7 2 crans - 60° 0,097 44 0,065 00 0,000 90 7,0 17,9
J'ai utilisé le modèle de DR 400 présenté ici pour étudier l'atterrissage, et plus précisément :
Chaque application conduit à des résultats qui complètent le manuel de vol de façon, me semble-t-il, intéressante. La première sert aussi à valider une partie du modèle et la dernière à le compléter par des paramètres de freinage
Un dernier paragraphe, qui effectue des recoupements entre le modèle et le manuel de vol, permet de vérifier la cohérence des résultats obtenus, et leur conformité aux données du manuel de vol.
Les principaux résultats sont regroupés dans la page de conclusions que l'on peut lire de façon indépendante du reste.
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1Crédibilité des performances
Cette présentation fait apparaître d'un côté des paramètres et de l'autre des performances. Cette distinction est commode mais finalement assez artificielle. En effet, elle s'appuie implicitement sur la distinction aussi essentielle que subtile entre "performance crédible" et "performance non crédible".
Je m'explique.
La donnée, par exemple en lisse, d'une performance aussi essentielle que la vitesse de décrochage V1, revient à fournir Czmax = a (αd - 1). Si j'y crois (c'est à souhaiter), je peux faire disparaitre un paramètre de la liste des inconnues. Si par exemple je garde a comme inconnue, j'ai αd = 1 + Czmax / a ; αd ne me sert plus que pour simplifier l'écriture de certaines équations, ou comme "variable de contrôle" pour vérifier que le choix ultérieur de a ne conduit pas à une bizarrerie comme αd en dehors de la plage 15 à 18° qu'on trouve dans tous les ouvrages.
De façon similaire, la donnée, en lisse, de la finesse max fmax fait que les variables a, b et c deviennent liées, puisque fmax2 = a2 / (4 b c) ; mais si on a un doute sur la valeur donnée pour fmax (le constructeur a pu être prudent et donc annoncer fmax = 9,5 pour que cette performance soit tenue à coup sûr), on aura intérêt à :
En résumé, une "performance crédible" est une performance qui permet de calculer à coup sûr un paramètre du modèle, ou au moins de diminuer le nombre de paramètres à évaluer. Une "performance non crédible" est une performance annoncée que l'on retient comme indicateur ou comme nouvelle variable avec un ordre de grandeur connu, mais qui ne diminue pas le nombre de paramètres à évaluer.
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Cx = b + c (α - αm)2
Avec c = a / [2 fmax (αf -
αm)]
et b = a (αf + αm) / (2
fmax).
Donc Cx / a = (αf + αm) / (2
fmax) + (α - αm)2 / [2
fmax (αf - αm)]
2 fmax (αf - αm) Cx /
a = αf2 -
αm2 + (α -
αm)2
2 fmax (αf - αm) Cx /
a = αf2 -
αm2 + α2 +
αm2 - 2 α αm
2 fmax (αf - αm) Cx /
a = αf2 + α2 - 2
α αm
2 αm (α - fmax Cx / a) =
αf2 + α2 - 2
fmax αf Cx / a
αm = [a (αf2 + α2) - 2 fmax αf Cx] / [2 (a α - fmax Cx)].
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