ATMOSPHERE - SYNTHESE

1 - Préambule

Les livres et documents divers traitant de ce sujet ne manquent pas. Mais je n'ai pas trouvé d'exposé qui me permette de créer un modèle d'atmosphère cohérent dont je sois raisonnablement sûr. Pas de problème pour l'atmosphère standard clairement définie par les tables de 1976, et quelques formules. Mais pour l'atmosphère réelle, les spécialistes sont beaucoup moins explicites et se contentent souvent de distiller au fil des pages des formules, des abaques, et des explications qui n'en sont pas.

Qu'on ne sache pas d'où viennent les formules, ce n'est pas grave, c'est juste un peu frustrant. Mais on ne sait même pas si ces formules sont exactes ou approchées. Et dans ce dernier cas, on ne connaît évidemment pas leur domaine de validité.

Sur ce constat, j'ai décidé de me faire une opinion en partant d'hypothèses raisonnables et aussi conformes que possible aux parties non ambigües des documents en ma possession.
Je ne prétends pas avoir découvert quoi que ce soit. J'espère même que non : mon seul objectif était de construire un modèle cohérent retrouvant au mieux les hypothèses que les spécialistes utilisent mais omettent d'expliciter.
Si je suis certain de la cohérence de mon modèle, je ne le suis pas de son exactitude. Néanmoins il retrouve bien les formules classiques, parfois comme formules exactes, parfois comme formules approchées. Et dans ce dernier cas, toujours applicables à la tranche d'atmosphère située entre le niveau de la mer et le FL 120 où mon avion va évoluer.

Ce modèle d'atmosphère fait l'objet d'une présentation détaillée, avec démonstrations et applications numériques. Cette présentation déborde nettement les besoins de l'étude aérodynamique du DR 400. Je la fournis quand même en espérant qu'elle puisse être utile à quelques lecteurs, comme sa rédaction m'a aidé à clarifier mes idées. Par exemple sur le fonctionnement de l'altimètre.

Ce qui suit est une synthèse qui m'a semblé utile. Au prix de quelques redites, sa lecture ne présuppose pas celle de la présentation complète. Mais elle présente l'inconvénient de décrire, pour ne pas dire parachuter, le modèle d'atmosphère sans en exposer la logique ; les plus curieux devront donc se reporter quand même à la présentation détaillée.

2 - Notations

Notre avion va évoluer dans une atmosphère en tout point de laquelle on définit

• l'altitude Z, hauteur mesurée par rapport au niveau de la mer, en kft ;
• la pression p en hPa
• la température t en °C, ou la température absolue T = 273,15 + t en K
• la masse volumique de l'air ρ en kg/m³

On définit les valeurs standards suivantes :

• p_0std = 1013,25 hPa ; dite pression standard au niveau de référence
• t_0std = 15 °C ou T_0std = 273,15 + 15 = 288,15 K ; dite température standard au niveau de référence
• Si en un point de l'atmosphère on a à la fois p = p_0std et T = T_0std alors ρ = ρ_0std = 1,225 kg/m³

Quel que soit le type d'atmosphère (standard ou non) le niveau de référence est défini par le fait que p_0std = 1013,25 hPa (surface isobare 1013).

3 - Atmosphère standard

En atmosphère dite standard

• Le niveau de référence (surface isobare 1013) est le niveau de la mer. La position verticale par rapport au niveau de référence peut donc être définie par l'altitude Z mesurée par rapport au niveau de la mer
  
  
• Sur cette surface de référence, on a
   
  * p = p_0std = 1013,25 hPa par définition de la surface de référence
  * Z = 0, du fait qu'elle se confond avec le niveau de la mer
  * t = t_0std = 15 °C ; et donc T = T_0std = 288,15 K
  * ρ = ρ_0std = 1,225 kg/m³ puisqu'on on a à la fois p = p_0std et T = T_0std
   
  
• Quand l'altitude Z croit, la température baisse de 6,5 °C par km ou de 2 °C par 1000 ft.
  Plus précisément, à une altitude Z quelconque, T = T_0std - μ Z (ou, de façon équivalente, t = t_0std - μ Z). Avec μ = 1,9812 pour Z en kft.
  
  
• La pression p est liée à l'altitude Z par une fonction (non linéaire et décroissante) p = F(Z) ; inversement, à toute pression p correspond une altitude unique Z = G(p) ; on peut donner f et g sous forme analytique (qu'on verra plus bas), ou à l'aide des tables d'atmosphère standard de 1976 que l'on trouve dans tous les ouvrages.

----F---> <---G----
Altitudes Z en kft	Pressions p en hPa
. . . . .	. . . . .
10	696,8
. . . . .	. . . . .
2	942,1
1	977,2
0	1013,25 (= p0std)
-1	1050,4

La fonction G permet d'associer à toute pression p une altitude notée Z_p = G(p) que l'on appelle altitude pression. Pour une pression p donnée, l'altitude pression Z_p est l'altitude à laquelle on a, en atmosphère standard, une pression égale à p. On note qu'au niveau de référence (surface isobare 1013), p = p_0std implique que Z_p = 0
En atmosphère standard, Z_p = Z et cette notion d'altitude pression n'apporte rien. Elle sera par contre utile en atmosphère quelconque.

4 - Atmosphère quelconque mais pas trop

L'atmosphère quelconque est semblable à l'atmosphère standard, mais en diffère sur deux points principaux :

• Le niveau de référence (surface isobare 1013) n'est plus systématiquement confondu avec le niveau de la mer mais au contraire "flottant", mobile verticalement par rapport à lui.
  
  
• Au niveau de référence, la température t n'est plus égale à t_0std = 15 °C mais variable autour de cette valeur standard (au sens de moyenne) ; on note Δt = t - t_0std.
  On a donc de même T = T_0std + Δt avec T_0std = 273,15 + 15 = 288,15 K.
  Pour en déduire ce qui se passe alors verticalement, il faut quelques calculs. Mais la synthèse de ces calculs est simple : Δt modifie la loi de variation de la pression avec l'altitude, de sorte que les surfaces isobares se resserrent quand la température baisse.

Donc, non seulement l'altitude du niveau de référence (surface isobare 1013) n'est plus fixe par rapport au niveau de la mer, mais les autres surfaces isobares se resserrent ou se desserrent selon la valeur de Δt.
C'est dire que cette atmosphère quelconque est totalement décorrélée de l'altitude Z, et que ce paramètre Z ne convient pas pour y repérer la position verticale. Il faut utiliser un autre paramètre, propre à cette atmosphère : on prend pour ce faire la pression p, ou mieux l'altitude pression Z_p qui lui correspond.

Ce paramètre Z_p permet maintenant de caractériser l'atmosphère quelconque de façon très semblable à celle de l'atmosphère standard :

• Au niveau de référence (surface isobare 1013), on a
   
  * p = p_0std = 1013,25 hPa par définition de la surface de référence
  * Z_p = 0, c'est le niveau 0 des altitudes pression
  * t = t_0std + Δt avec t_0std = 15°C ; et donc T = T_0std + Δt avec T_0std = 288,15 K
  * ρ en général différent de ρ_0std = 1,225 kg/m³, sauf si Δt =0 auquel cas on a à la fois p = p_0std et T = T_0std
   
  
• Quand l'altitude pression Z_p croit, la température baisse de 6,5 °C par km d'altitude pression, ou de 2 °C par 1000 ft d'altitude pression.
  Plus précisément, à une altitude pression Z_p quelconque, T = (T_0std + Δt) - μ Z_p ; ou, de façon équivalente, t = (t_0std + Δt) - μ Z_p. Avec μ = 1,9812 pour Z en kft.
  
  
• Par définition de l'altitude pression, la pression p est liée à l'altitude pression Z_p par la fonction p = F(Z_p) ; inversement, à toute pression p correspond une altitude pression unique Z_p = G(p)

Remarque : à l'altitude pression Z_p quelconque, T = (T_0std - μ Z_p) + Δt ; donc si on note T_std = T_0std - μ Z_p, on a T = T_std + Δt :

• à l'altitude pression Z_p on sait donc définir une température standard T_std = T_0std - μ Z_p, de même qu'au niveau de référence on a défini une température standard égale à T_0std = 288,15 K ;
   
  
• la température réelle à l'altitude pression Z_p est T = T_std + Δt où Δt a la même valeur qu'au niveau de référence ; on dit simplement qu'on est en température standard + Δt ; les températures aux différentes altitudes pressions bougent "en bloc" avec Δt.

Si à cette définition on ajoute les expressions exactes des fonctions p = F(Z) et Z = G(p) en atmosphère standard, et les formules qui en découlent en atmosphère quelconque, on aura explicitement défini l'atmosphère. C'est ce qui est fait dans la suite.

5 - Principales formules (parachutage des)

5.1 - En atmosphère standard

• p = F(Z) s'écrit en fait p = p_0std [1 - (Z / Z₀)]^α
  avec α # 5,255 et Z₀ = T_0std / μ d'où (1 / Z₀) = 1,9812 / 288,15 # 0,00688
  Ces valeurs approchées de α et (1 / Z₀) donnent une erreur maximum de 0,2 hPa sur le calcul de p. La présentation détaillée en fournit des valeurs plus exactes si une meilleure précision est recherchée.
   
  
• Z = G(p) s'en déduit : Z = Z₀ [1 - (p / p_0std)^1/α]

5.2 - En atmosphère quelconque

Altitude pression Z_p

L'altitude pression en un point de pression p est donnée par la même expression Z_p = G(p) = Z₀ [1 - (p / p_0std)^1/α]

Relation entre altitude Z et altitude pression Z_p

En appelant QFF la valeur de la pression p au niveau de la mer, l'altitude Z est donnée par Z(p) = Z₀ [(QFF / p_0std)^1/α - (p / p_0std)^1/α] - [Δt / (α μ)] ln(p / QFF)
Ce n'est pas simple, mais c'est explicite !

On peut exprimer la même formule sous des formes plus commodes...

Soit QFE la pression au niveau d'un aérodrome d'altitude Z_AD. On appelle QNH l'altitude qu'il faut afficher dans la fenêtre de calage d'un altimètre pour qu'au niveau de l'aérodrome (et donc soumis à la pression QFE), cet altimètre affiche l'altitude vraie Z_AD.
Or, par construction, l'altimètre indique Z_p - Z_pc, Z_p étant l'altitude pression du lieu où il est placé et Z_pc l'altitude pression correspondant à la pression p_c affichée dans la fenêtre de calage.
Donc la définition du QNH équivaut à Z_QFE - Z_QNH = Z_AD.

En tout point de l'atmosphère où règne une pression p, l'altitude vraie est alors donnée par :
Z(p) = Z(QNH) + (Z_p - Z_QNH) - (Δt / µ) ln[(Z₀ - Z_p ) / (Z₀ - Z_QNH)]
avec Z(QNH) = (Δt / µ) ln[1 - Z_AD / (Z₀ - Z_QNH)].
Remarque pour ceux qui seraient inquiets : ces formules nécessitent quelques calculs, et ne sont évidentes pour personne...

On note qu'en général, l'altitude Z(QNH) est faible mais non nulle : le QNH n'est pas la pression au niveau de la mer (pression que nous avons d'ailleurs appelée plus haut le QFF).
Comme Δt intervient dans l'expression de Z(p) et que l'altimètre n'en tient pas compte (ce n'est qu'un baromètre), ce dernier ne peut pas, si Δt est non nul, afficher une altitude exacte à deux niveaux différents : si, calé au QNH, il est "juste" à l'altitude de l'aérodrome, puisqu'il indique bien Z_AD, il est "faux" au niveau de la mer où il n'indique pas 0. Si à l'inverse il indique bien zéro au niveau de la mer (il est alors calé au QFF), il est "faux" partout ailleurs, et en particulier au niveau de l'aérodrome.
 
Le choix du calage au QNH constitue un bon compromis : quitte à devoir faire des corrections de température pour avoir l'altitude exacte en fonction de l'indication de l'altimètre, mieux vaut que cette correction soit nulle à l'altitude à laquelle on a le plus besoin de précision. Aux autres altitudes, deux avions dont les altimètres, calés au même QNH, affichent des altitudes (pressions) différentes ne peuvent entrer en collision. C'est suffisant, inutile de calculer alors l'altitude réelle.
 

La présentation détaillée fournit des formules simplifiées donnant Z(p) en fonction de Z_p ainsi que leurs conditions de validité. Elle indique également comment, à l'inverse, calculer l'altitude pression Z_p quand on connait l'altitude vraie Z.

J'ai choisi de ne pas inclure de formulaire dans la présente synthèse, car sans explications il est difficile de faire le choix de la formule adaptée au problème à résoudre. Par contre, il me parait utile de donner une formule approchée qui donne une bonne idée du lien entre altitudes pressions et altitudes vraies, et donne des résultats à 50 ft près (et souvent beaucoup moins) en-dessous du FL 120 :
 
Z(p) - Z(Q) # (Z_p - Z_Q) [1 + (Δt / T_M)].

Dans cette formule, Z(p) et Z(Q) sont les altitudes réelles où règnent les pressions respectives p et Q, Z_p et Z_Q sont les altitudes pressions qui correspondent à p et Q. T_M est la température standard à l'altitude pression moyenne (Z_p + Z_Q) / 2.

Si on remplace "brutalement" T_M par T_0std = 288 K, il suffit que Q soit dans la fenêtre de calage de l'altimètre et que p soit prise en-dessous du FL 100 (Z_p inférieure ou égale à 10 kft) pour que la précision annoncée ci-dessus soit conservée. Or le terme (Δt / T_0std) apporte une correction d'environ 100 ft par tranche de 3000 ft et de 10°C. Donc, si Δt > 0, on passe des différences d'altitudes pressions aux différences d'altitudes vraies en leur ajoutant 100 ft par tranche de 3000 ft et de 10°C ; si Δt < 0, on les retranche. Réciproquement, le calcul est le même, au signe près, pour passer des différences d'altitudes vraies aux différences d'altitudes pressions.

Cette formule approchée est très commode en pratique puisque l'altimètre indique justement une différence d'altitudes pressions. Et comme la pression de calage de l'altimètre est forcément dans la fenêtre de calage, la correction de température de 100 ft par tranche de 3000 ft et de 10°C est applicable à toute indication de l'altimètre jusqu'au FL 100.

L'impressionnante formule indiquée plus haut Z(p) = Z(QNH) + (Z_p - Z_QNH) - (Δt / µ) ln[(Z₀ - Z_p ) / (Z₀ - Z_QNH)] devient
Z(p) # Z(QNH) + (Z_p - Z_QNH) [1 + (Δt / T_0std)]
p = QFE donne, puisque Z(QFE) = Z_AD,
Z_AD # Z(QNH) + (Z_QFE - Z_QNH) [1 + (Δt / T_0std)]
Or Z_QFE - Z_QNH = Z_AD par définition du QNH ; donc
Z_AD # Z(QNH) + Z_AD [1 + (Δt / T_0std)]
Z(QNH) # - Z_AD Δt / T_0std : Z(QNH) se déduit de Z_AD à raison de 100 ft par tranche de 3000 ft et de 10°C.

On remarque que, par différence, Z(p) - Z_AD # (Z_p - Z_QFE) [1 + (Δt / T_0std)] ; c'est une extension "un peu limite" des formules déjà fournies ; "un peu limite" parce que QFE n'étant pas forcément dans la fenêtre de calage de l'altimètre (c'est le cas d'un aérodrome d'altitude) les conditions d'application de la formule Z(p) - Z(Q) # (Z_p - Z_Q) [1 + (Δt / T_0std)] ne sont pas forcément remplies.

Masse volumique de l'air

La masse volumique ρ est donnée par ρ = ρ_0std (T_std / T_0std)^α-1 / (1 + Δt / T_std)
ou encore ρ = ρ_0std [1 - (Z_p / Z₀)]^α-1 / (1 + Δt / T_std).

Altitude densité Z_ρ

De même qu'on a défini l'altitude pression, on peut définir l'altitude densité Z_ρ qui, pour une valeur de ρ donnée, est l'altitude à laquelle on aurait, en atmosphère standard, une densité égale à ρ / ρ_0std
Z_ρ et Z_p sont liées par la relation (exacte) Z_ρ = Z_p + (T_std / μ) [1 - (T_std / T)^1/(α-1)] ou par la relation approchée Z_ρ # Z_p + 0,12 Δt
Le comportement aérodynamique de l'avion dépend de ρ ou, de façon équivalente, de l'altitude densité Z_ρ

6 - Application à notre modèle de DR 400

Pour étudier, à l'aide de notre modèle de DR 400, le comportement aérodynamique de l'avion sur un aérodrome d'altitude connue, il nous faut trouver les valeurs de p et Z_p, puis de ρ au niveau de l'aérodrome, en fonction des données disponibles (généralement le QNH et T ou Δt).

Les formules données dans la présente synthèse fournissent l'essentiel pour y parvenir. Pour une approche plus complète, la présentation détaillée fournit les formules exactes et approchées qui permettent de résoudre ce problème quelles que soient les données disponibles et avec la précision souhaitée. En particulier, elle contient en annexe l'étude détaillée de la pression atmosphérique et de la densité de l'air sur un aérodrome connaissant l'altitude Z_AD de cet aérodrome, ainsi que le QNH et Δt sur cet aérodrome, ou, cas un peu plus difficile, sur un aérodrome voisin.