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Pour aborder de façon générale l'aérodynamique et la mécanique du vol des avions, on pourra se reporter à la page de liens, et en particulier au site de John Stewart Denker qui y est cité.
En effet, le présent document n'a pas l'ambition de synthétiser des sujets aussi vastes. Je n'en ai pas la compétence, et je n'ai pas l'ambition de l'acquérir car ces domaines ne me passionnent pas pour eux-mêmes, mais seulement comme moyen de mieux comprendre, en tant que pilote privé, comment fonctionne mon avion (enfin, le DR400 du club...).
Ce document n'est donc que la mise au propre de ce que j'ai
retenu comme pertinent pour comprendre les avions légers, et
pour évaluer les paramètres déterminants dans
leurs performances. Je parle bien de comprendre dans les grandes
lignes le fonctionnement d'un avion existant,
certifié, etc., pas de comprendre comment le concevoir ou le
contruire. Car il y a une énorme différence entre les
deux : comprendre quels paramètres conditionnent la vitesse
de croisière d'un avion existant est autrement plus simple
que de déterminer, avant sa construction, ce qui fait qu'il
sortira ou non d'une vrille en moins de deux tours.
J'ai donc passé sous silence des notions pourtant
fondamentales en aérodynamique comme le nombre de Mach et le
nombre de Reynolds, mais que l'on peut négliger du fait du
domaine de vol et des dimensions de l'avion. De même, je ne
parle pas de la couche limite et de son comportement en aval de tel
ou tel accident de surface, pas plus que je ne parle de l'angle
entre la force de traction de l'hélice et l'axe du fuselage,
autant de sujets qu'un constructeur considérera à
raison comme importants.
Pour alléger l'exposé, j'ai fait de nombreux renvois vers des notes. Ceci m'a permis de conserver quelques développements mathématiques qui n'ont rien de passionnant en eux-mêmes, mais qui limitent le nombre de formules parachutées (il en reste...).
Si V est la vitesse d'un avion par rapport à l'air1, et ρ la masse volumique de l'air, 2 forces aérodynamiques s'exercent sur l'aile de surface Sa :
Mais ce qui est vrai pour l'aile est vrai pour le reste de l'avion : fuselage, gouverne de profondeur, etc. De sorte que si on considère l'avion dans son ensemble, il est soumis à une portance et une traînée qui sont les résultantes des portances et traînées élémentaires des différentes parties qui le constituent.
Pour aboutir à un modèle raisonnablement simple,
ma démarche consistera, chaque fois que c'est possible,
à assimiler l'avion à une aile unique. Il ne s'agit
pas de confondre l'avion et son aile en négligeant tout le
reste, il s'agit de définir une aile équivalente
à l'avion complet, c'est à dire présentant
des performances aussi proches que possible de celles de l'avion
dans son ensemble. On parlera indifféremment de l'aile
équivalente ou du modèle (d'avion).
Cette approximation a évidemment ses limites, par exemple
si on veut comprendre le rôle de la gouverne de profondeur,
mais on verra qu'elle est néanmoins acceptable pour la
modélisation globale de l'atterrissage.
Tous les angles sont exprimés en degrés2. Les conventions
adoptées pour la désignation des angles
caractéristiques sont celles de John Stewart Denker
cité au début du paragraphe 1.
Le schéma ci-dessous provient également de son
site.
Soit A_réf un axe arbitraire de référence, fixe par rapport à l'avion, représenté en rouge sur le schéma.
Quatre angles apparaissent sur ce schéma (dénominations anglaises en italique) :
Les appellations françaises "incidence" et "angle d'attaque" ci-dessus sont de mauvaises traductions mot-à-mot, mais qui à ce stade ont le mérite d'éviter les confusions avec les termes corrects en français. On verra pourquoi plus loin dans une note.
L'angle entre l'horizontale et A_réf peut être
exprimé de deux façons, ce qui donne :
(1) assiette θ + incidence K = angle de pente γ +
angle d'attaque α
Choix de l'axe arbitraire A_réf pour l'étude de l'aile seule
Pour l'étude de l'aile seule, A_réf pourrait
être la corde de profil de cette aile.
Mais si le profil de l'aile n'est pas le même sur toute sa
longueur, ou si l'aile est vrillée, ce choix devient moins
évident car il oblige à désigner une corde de
profil particulière à une distance choisie de
l'emplanture de l'aile. Pour cette raison, il est
préférable de prendre pour A_réf la direction
du vent relatif conduisant à une portance nulle. On verra
dans la suite que ce choix se révèle très
commode.
Choix de l'axe arbitraire A_réf pour l'étude globale de l'avion
Si maintenant au lieu d'étudier l'aile seule, on étudie l'avion complet en l'approximant par son "aile équivalente", il est clair que cette convention (A_réf = axe de portance nulle) est particulièrement intéressante car aucun axe particulier traçable par une construction géométrique ne s'impose a priori (par opposition au cas très particulier de l'aile à corde de profil de direction constante).
Synthèse des notations
Pour éviter les ambiguïtés selon les sources sur le terme "incidence"3, j'ai choisi dans la suite de désigner les angles K et α uniquement par leurs symboles.
K désigne donc l'angle entre l'axe de fuselage et l'axe
de portance nulle de l'objet étudié (aile de l'avion,
gouverne de profondeur, ou aile équivalente à l'avion
complet).
Il est important de noter que si plusieurs configurations existent,
ce qui est le cas de l'aile (seule ou équivalente) selon la
position des volets, cet angle K doit être
déterminé pour chaque configuration. Ainsi, pour
l'aile, il augmente quand la configuration passe de lisse à
1 cran de volets, et de 1 cran de volets à 2 crans. Ce qui
se conçoit aisément puisque le bord d'attaque est
fixe et que la sortie des volets se traduit par un abaissement
(d'une partie) du bord de fuite.
α désigne l'angle entre le vent relatif (trajectoire) et l'axe de portance nulle de l'objet étudié. Comme la position de l'axe de portance nulle (précisée par K) dépend de la configuration, il en est de même pour α du fait de la relation (1) qui donne α = θ - γ + K.
Par définition de α, la portance Rz est nulle pour
α = 0. On observe qu'à vitesse constante, la portance
augmente quand α croit, jusqu'à un maximum atteint
pour α = αd compris entre 15 et 18°.
Au-delà de α = αd, la portance
retombe rapidement. C'est le phénomène de
décrochage.
Cette variation de Rz en fonction de α implique une variation
similaire de Cza puisque Rz = (1/2) ρ Sa
Cza V2. En pratique, on peut
considérer que Cza suit une loi de variation
linéaire Cza = aa α hors de la
zone de décrochage.
Cz(α)
La portance de l'avion est essentiellement la résultante
de trois portances : celle de l'aile, celle du fuselage et celle de
la gouverne de profondeur.
La portance de fuselage n'est pas mirifique ; sa contribution peut
être approximée par une légère
augmentation du produit S Cz de la surface de l'aile
équivalente par rapport au produit Sa
Cza de l'aile réelle.
La portance de l'aile s'applique en arrière du centre de
gravité de l'avion, sur lequel s'exerce le poids. Il en
résulte, dans la plupart des configurations de vol, un
moment à piquer qui doit être compensé par un
moment à cabrer. Ce dernier est obtenu par la portance
négative de la gouverne de profondeur (on dit que cette
gouverne est "déporteuse"). Comme cette portance
négative diminue la portance globale de l'avion, elle doit
être minimisée tout en conservant le moment à
cabrer : on y parvient grâce à un bras de levier
gouverne - centre de gravité assez long. Si on analyse cela
d'un peu plus près4, on voit que l'effet de la gouverne
revient, en ce qui concerne la portance de l'avion, à une
légère diminution du produit S Cz de la surface de
l'aile équivalente par rapport au produit Sa
Cza de l'aile réelle.
Il serait hasardeux d'en conclure que portance de fuselage et
"déportance" de la gouverne de profondeur se compensent
exactement, au point d'écrire S Cz # Sa
Cza, soit Cz # (Sa / S) aa
α.
Mais on peut au moins admettre que Cz peut s'écrire, comme
pour l'aile seule, sous la forme Cz = a α tant que |α|
reste hors de la zone de décrochage, avec un angle de
décrochage αd compris lui aussi entre 15 et
18°.
La question de savoir si S est très différente de
Sa et corrélativement si S a est très
différent de Sa aa est un faux
problème (que je me suis longtemps posé...) : en
fait S apparait comme un paramètre secondaire (je
répète qu'il ne s'agit pas de construire un avion)
car seul le produit S a intervient dans les équations de
notre modèle ; or notre propos est de le calculer à
partir des données sur l'avion complet fournies par le
manuel de vol, et non pas à partir de données sur
l'aile seule, même si le manuel de vol en fournit
(Sa, allongement, profil, etc.).
Remarque : pour réaliser le moment à cabrer, on peut remplacer le plan déporteur à l'arrière par un plan porteur à l'avant (avions de type "canard") ; dans ce cas, le bras de levier restant faible, la portance de ce plan additionnel est significative et S Cz devient très différent de Sa Cza.
Arbitrairement, mais en m'inspirant de courbes types que j'ai trouvées dans la littérature, je choisis plus précisément pour mon modèle :
On n'étudiera pas le cas α = - αd
qui ne fait pas partie de l'utilisation très raisonnable que
je fais du DR400...
La valeur de Cz pour α = αd donnée
ici revient à dire que le décrochage se manifeste,
juste avant αd, par un infléchissement de
la courbe Cz(α) : pour α = αd, on a la
portance qu'on aurait dû avoir pour α =
αd - 1 si la courbe était restée
linéaire.
Pour pouvoir représenter graphiquement la courbe Cz(α), on peut en affiner la description pour α compris entre αd - 2 et αd + 2 ; ce sera fait dans l'étude du modèle de DR400 ; mais il ne s'agit pas de tirer de cette description purement qualitative des conclusions sur le comportement de l'avion dans la zone de décrochage.
Cx(α)
On peut déterminer la loi de variation de Cx en fonction de α en explicitant Cx comme la résultante de deux composantes Cx = Cx0 + Cxi(α).
Le premier terme Cx0, est indépendant de α et
strictement positif ; il est appelé coefficient de
traînée parasite.
La traînée parasite se compose de la
traînée de pression (on dit aussi de forme) et de la
traînée de frottement :
Le second terme Cxi(α), est positif ou nul ; il est appelé coefficient de traînée induite (par la portance). Il inclut l'effet des tourbillons marginaux (ou vortex) qui se forment en bout d'aile. Il est partiellement réduit au voisinage du sol (on parle alors d'effet de sol, mais ce dernier ne se réduit pas à la diminution de la traînée induite, il inclut aussi une augmentation de la portance).
Cx0 apparait donc comme le minimum de Cx quand α varie. Ce
minimum est atteint pour la valeur (unique) αm de
α pour laquelle Cxi(α) = 0.
Nous adopterons le modèle simplifié, fréquent
dans la littérature, dans lequel αm = 0,
c'est-à-dire dans lequel la portance à
traînée minimum est nulle.
En effet, αm non nul conduit à des expressions mathématiques assez lourdes, et finalement, on s'embête pour rien dans le cas du DR400 : dans les essais que j'ai faits, je m'attendais bien à ce que αm reste faible, de l'ordre de quelques degrés, mais la recherche de la meilleure corrélation entre le manuel de vol et le modèle conduit à αm = 0, tant en lisse qu'avec deux crans de volets.
On a dit plus haut que quand Cx diffère de son minimum
Cx0, c'est parce qu'apparait une traînée induite par
la portance, de coefficient Cxi(α).
C'est dire que, dans le cas général hors zone de
décrochage, quand α passe de 0 à une valeur non
nulle, on a simultanément
La littérature indique que Cxi(α) est lié à Cz(α) par Cxi(α) = μ [Cz(α)]2, et donc Cxi(α) = μ a2 α2.
Dans le cas d'une aile seule (par opposition à l'avion global), on a μ = 1 / (π λ e). On a donc l'équation Cx = Cx0 + Cz2 / (π λ e) qui figure dans tous les ouvrages sous le nom de polaire parabolique, la polaire étant le graphe obtenu avec Cx en abcisse et Cz en ordonnée.
Donc, tant que |α| reste inférieur ou égal
à αd - 2, on a pour notre modèle
dans le cas général :
Pour α = αd (comme déjà dit plus haut, on n'étudiera pas le cas α = - αd...) :
On a déjà vu que Rz = (1/2) ρ S Cz V2 et Rx = (1/2) ρ S Cx V2
Bien qu'en toute rigueur ce soit faux, on admettra que la force de traction T du groupe moto-propulseur s'exerce dans l'axe de fuselage, qui fait un angle θ - γ avec la trajectoire.
Donc T se décompose en Tx = T cos(θ - γ) et Tz = T sin(θ - γ) respectivement colinéaires à Rx et Rz.
Le modèle doit représenter le comportement global de l'avion. Ecrivons donc (en nous limitant à ce qui se passe dans le plan vertical contenant l'axe de l'avion) les formules de composition des forces en présence pour l'avion en vol :
où dVx/dt et dVz/dt sont les deux composantes de
l'accélération.
On note que V = Vx (puisque la vitesse est tangente à la
trajectoire) et que Vz = 0. Ce qui n'empêche pas que dVz/dt
puisse être différent de 0.
Conventions de signe :
Les équations du modèle sont donc :
(2) m dVx/dt = T cos(θ - γ) - (1/2) ρ S Cx
V2 - m g sin γ
(3) m dVz/dt = T sin(θ - γ) + (1/2) ρ S Cz
V2 - m g cos γ
Auxquelles s'ajoutent les équations déjà vues :
On sait que |α| ≤ αd (de l'ordre de 15
à 18°). On verra que K est de l'ordre de quelques
degrés. θ - γ = α - K est donc assez petit
pour qu'on puisse écrire sin(θ - γ) # k (θ
- γ) avec k = π / 180.
Par ailleurs, on verra que pour le DR400/180, T ne dépasse
pas 0,3 m g (on ne demande pas à l'avion de tenir en l'air
accroché à son hélice...) ; donc k T reste
inférieur à 0,005 m g.
Il en résulte que dans l'équation (3), le terme T
sin(θ - γ) est inférieur 0,005 (α - K) m
g. Donc tant que α - K reste de l'ordre de quelques
degrés, ce terme peut être négligé
devant m g cos γ avec les valeurs usuelles de γ qui
font que cos γ reste voisin de 1. Par exemple pour 5°, T
sin(θ - γ) est inférieur à 0,025 mg.
Par ailleurs, le terme cos(θ - γ) est de l'ordre de 1 -
k2 (θ - γ)2 / 2 ; pour 5° il
vaut 0,996 et pour 10° il vaut 0,985.
En pratique, on peut distinguer trois cas selon la valeur de α - K :
La difficulté est de savoir dans lequel de ces trois cas on se trouve. Pour alléger l'exposé, je n'ai pas conservé les développements prudents des cas 1 ou 2 quand, en fin de compte, ils n'apportaient lors des applications numériques pratiques que des résultats très proches de ceux obtenus beaucoup plus simplement avec les hypothèses du cas 3.
Cas particuliers pas si particuliers que ça
Cas de la trajectoire à pente constante
La vitesse reste colinéaire à la pente, donc dVz/dt = 0. On peut alors simplifier les notations en remplaçant dVx/dt par dV/dt.
Les équations (2) et (3) du modèle
s'écrivent alors :
(7) m dV/dt = T cos(θ - γ) - (1/2) ρ S Cx
V2 - m g sin γ
(8) (1/2) ρ S Cz V2 + T sin(θ - γ) = m g
cos γ
Cas particuliers
Le groupe moto-propulseur (moteur + hélice) génère une force de traction T ; à la vitesse V, cela représente une puissance utile égale à T V. Le moteur doit fournir pour cela une puissance P supérieure à T V du fait, en particulier, de la traînée de l'hélice. On appelle rendement de l'hélice, que l'on peut noter r, le rapport r = T V / P.
Evidemment, on a toujours r < 1. Le problème est que r est loin d'être constant ; on a même r = 0 quand V = 0 (début du roulement au décollage).
Dans la littérature, on trouve un peu de tout à propos de la valeur de r et T en fonction de ρ, V, P, etc., depuis r # 0,85 à la vitesse de croisière, jusqu'à des formules théoriques assez complexes, éventuellement assorties de coefficients correctifs destinés à prendre en compte l'écart constaté avec les données expérimentales.
Pour l'instant, l'exposé le plus convaincant me semble
être celui de ALLSTAR Network cité dans la page de liens.
En adaptant la formule fournie aux notations que j'ai
déjà retenues, on obtient :
T = Q P / (n D) + U D2 ρ V2
où Q et U sont deux constantes (à déterminer
selon les performances de l'avion), D le diamètre de
l'hélice, et n le régime de rotation de
l'hélice (en tours/s, donc n = régime en "RPM"
divisé par 60).
On peut simplifier l'expression en prenant comme constantes
à déterminer les constantes "composites" Qh = Q / D
et Uh = U D2, (avec "h" pour "hélice") ce qui
permet d'écrire :
(13) T = Qh P / n + Uh ρ V2.
En général, P est donnée par le rapport P /
P0 où P0 est la puissance maximum au
niveau de mer et dans des conditions normales de température
et de pression, ie pour ρ = ρ0.
P0 est donnée, ainsi que le régime
n0 correspondant, par le manuel de vol. Exemple : pour
le DR400/180, P0 = 180 HP soit 180 x 745,7 = 134 226 W
et n0 = 2700 / 60 = 45 tours/s.
Si M est le couple fourni par le moteur, P = 2 π n M ; donc M
= P / (2 π n).
Au passage, ALLSTAR Network donne deux informations très
intéressantes :
Quand l'aile se rapproche du sol (disons à une hauteur h de l'ordre de l'envergure E) apparait une modification de la circulation de l'air autour cette aile. Il en résulte un phénomène complexe appelé effet de sol, qui se traduit essentiellement par une diminution de la traînée induite, mais aussi par une augmentation de la portance.
Pour notre modèle, nous ne prendrons en compte que le
premier aspect, que l'on peut représenter par un coefficient
Xes ≤ 1 qui s'applique au coefficient c, de sorte que
l'expression de Cx devient Cx = b + Xes c α2.
On trouve dans la littérature des tables ou des formules
approchées donnant Xes ; la formule la plus commode que
j'aie trouvée est celle fournie par ALLSTAR Network
cité au paragraphe précédent :
(14) 100 Xes = 108,29 + 24,12 ln(h / E).
Dans cette formule, h est la hauteur de l'aile au-dessus du sol ;
dans le cas du DR400/180, j'estime le minimum de h / E à 0,1
(avion au sol), ce qui donne Xes ≥ 0,53.
Evidemment, il faut prendre Xes = 1 si l'évaluation de la
formule donne une valeur supérieure.
On a vu que les équations du modèle en vol moteur
réduit, sont :
(9) - m dV/dt = (1/2) ρ S Cx V2 + m g sin
γ
(10) (1/2) ρ S Cz V2 = m g cos γ
L'équation (10) permet, pour V donné, de calculer Cz et donc α ; si on suppose connus les paramètres b et c, on en déduit Cx = b + c α2 ; (9) donne alors dV/dt.
En particulier, tant que |α| reste inférieur ou égal à αd - 2, on peut écrire α = Cz / a, ce qui conduit6 à une équation différentielle sous la forme :
(15) dV/dt = M - L V2 - N / V2
ou encore (16) V2 dV/dt = - L V4 + M V2 - N
avec
Comme il est commode d'exprimer V en fonction de la vitesse de décrochage Vs, on prendra la variable réduite v = V / Vs.
Remarque importante : la vitesse de décrochage Vs
utilisée ici est celle qui correspond aux conditions
atmosphériques, à la masse, et à la
configuration utilisée (volets en particulier).
Elle ne doit pas être confondue avec celle fournie par le
manuel de vol, qui est généralement donnée au
niveau de la mer dans des conditions normales conditions normales
de température et de pression (ρ = ρ0 =
1,225 kg/m3), et à la masse maximum
mM.
Il est à signaler que le manuel de vol du DR400/180
n'indique pas explicitement à quelle masse est donnée
Vs : il indique "au poids total". On peut, logiquement mais sans
certitude pour l'instant, penser qu'il s'agit de la masse maximum
à l'atterrissage mMa = 1045 kg ; en effet, la
procédure d'atterrissage indique une approche à 1,3
Vs0, ce qui implique que Vs0 soit bien donnée à m =
mMa.
L'équation (11) nous donne Vs2 = 2 m g / [a ρ S (αd - 1)].
Le changement de variable v = V / Vs permet, compte tenu de cette expression de Vs, de réécrire les différents termes de l'équation (16) et on arrive7 à :
(17) v2 dv/dt = - J (A v4 - B
v2 + C)
avec
A est une constante ; B et C également à pente γ constante.
En remontant aux équations (9) et (10) on a
(9) - m dV/dt = (1/2) ρ S Cx V2 + m g sin
γ
(10) (1/2) ρ S Cz V2 = m g cos γ
Donc avec dV/dt = 0, on a immédiatement tg γ = - Cx / Cz
La finesse f est définie par f = Cz / Cx ; on a donc tg γ = - 1 / f : quand l'avion descend de 1 la distance parcourue au sol est f.
Il est évidemment important, en cas de panne moteur, de connaitre les conditions dans lesquelles f est maximum.
Finesse maximum pour une configuration donnée
Posons fmax = max(Cz / Cx).
Cx = b + c α2 et Cz = a α donnent : Cx =
b + (c / a2) Cz2.
Donc (Cz / Cx)2 = (a2 / c) (Cx - b) /
Cx2.
Si on pose Cz / Cx = f(Cx), on a en dérivant :
2 f(Cx) df/dCx = (a2 / c) [Cx2 - 2 (Cx - b)
Cx] / Cx4
Une condition nécessaire (et non suffisante, mais en fait
elle l'est...) pour qu'à Cx corresponde un maximum de f(Cx)
est que df/dCx = 0, soit Cx = 2 b.
La finesse maximum est obtenue quand le coefficient de
traînée induite Cxi = c α2 est
égal au coefficient de trainée parasite Cx0 = b.
La valeur αf de α correspondante est
donnée par c αf2 = b, soit
αf2 = b / c.
On a alors fmax = Cz / Cx = a αf / (2
b) que l'on peut aussi écrire, compte tenu de
αf2 = b / c, fmax = a / (2 c
αf).
Au passage, on note que fmax2 = a2
/ (4 b c).
Si on note γf la pente de finesse maximum, elle
est donnée par
tg γf = - 1 / fmax = - 2 b / (a
αf) = - 2 c αf / a. Et on a
tg2 γf = 4 b c / a2.
La vitesse Vf est donnée par (10) 1/2 ρ S Cz
V2 = m g cos γ avec Cz = a αf, V
= Vf et γ = γf :
Vf2 = 2 m g cos γf / (ρ S a
αf).
Par ailleurs, on a vu [équation (11)] que Vs2
= 2 m g / [a ρ S (αd - 1)].
En posant vf = Vf / Vs, on a par division de
Vf2 par Vs2 :
vf2 = (αd - 1) cos
γf / αf.
Puisque tg γf = - 2 b / (a
αf), on a cos γf /
αf = - a sin γf / (2 b) ; on peut
donc aussi écrire :
Vf2 = - m g sin γf / (b ρ S)
et vf2 = - [a / (2 b)] (αd -
1) sin γf.
Enfin, puisque tg γf = - 1 / fmax,
on a 1 / cos2 γf = 1 + tg2
γf = (1 + 1 / fmax2)
Donc dans les expressions de Vf2 et vf2, on
peut remplacer cos γf par son expression en
fonction de fmax : cos γf = 1 / (1 + 1
/ fmax2)1/2.
Au passage, on note que l'expression 1 / cos2
γf = 1 + tg2 γf donne,
avec tg2 γf = 4 b c / a2 :
cos2 γf = 1 / (1 + 4 b c /
a2).
Donc de vf2 = (αd - 1) cos
γf / αf on tire, compte tenu de 1
/ αf2 = c / b,
vf4 = c (αd - 1)2
/ [ b (1 + 4 b c / a2)]
vf4 = (a2 c / b)
(αd - 1)2 / (a2 + 4 b
c).
Remarques :
Etude générale de la descente à vitesse v constante
D'après l'équation (17) dv/dt = 0 <=> A v4 - B v2 + C = 0.
En posant X = v2 : l'équation devient A X2 - B X + C = 0.
L'existence de solutions est donnée par le signe de Δ = B2 - 4 AC ; le calcul montre8 que, pour les pentes de descente, ce signe est celui de (- γ) - (- γf) où (rappel) γf est l'angle de pente de finesse maximum. Cette écriture est commode dans la mesure où les angles γ et γf étant négatifs en descente, "- γ" et "- γf" sont des angle de "pente de descente" comptés positivement.
L'étude théorique complète des variations de v1 et v2 en fonction de la pente γ n'a pas beaucoup d'intérêt, mais il est utile d'observer les valeurs numériques que l'on obtient pour des pentes particulières, afin de préciser l'aspect physique des choses.
Quand - γ = - γf, Δ = 0 et v1 = v2 = vf. Avec les valeurs de a, b, c et αd que nous établirons plus tard pour le DR400/180, on a vf # 1,44.
Quand - γ (pente descendante) augmente au-delà de
cette valeur, Xd = B / (2A) = - [a / (2 b)]
(αd - 1) sin γ croit comme - sin γ, et
vd en découle par vd =
Xd1/2.
Avec les mêmes valeurs numériques que ci-dessus, on
trouve que si γ atteint par exemple 1,3 γf,
on a vd # 1,64.
Dans le même temps, le terme en Δ1/2 / (2A) qui constitue l'écart entre X1 et Xd et l'écart entre Xd et X2 augmente plus rapidement que Xd, de sorte que pour cette pente de 1,3 γf, v1 est d'environ 0,98 et v2 d'environ 2,1. Peu importent les valeurs numériques exactes, c'est le mécanisme qui est important : quand vd augmente avec la pente, v2 augmente plus vite et v1 diminue et devient inférieur à 1.
A quoi correspondent v1 et v2 ? Partons de
la pente γf pour laquelle Δ = 0 et
plaçons nous à la vitesse constante vf. Si
maintenant on augmente la pente descendante, v1 va
diminuer par rapport à sa valeur actuelle (vf),
et v2 va augmenter.
Si, sur la nouvelle pente plus forte, on veut adopter une vitesse
constante, on doit choisir entre :
Conclusion : en plané sur une pente γ donnée et à configuration constante (c'est-à-dire sans sortir les volets ou amorcer une glissade)
Applications de l'équation différentielle (17)
(17) v2 dv/dt = - J (A v4 - B v2 + C)
avec
Le seul coefficient de l'équation (17) dépendant
de ρ et m est J, proportionnel à (ρ /
m)1/2.
On note aussi que tous dépendent de la configuration choisie
(via a, b, c, et αd).
On peut utiliser cette équation différentielle de diverses façons
Calcul de d en fonction de v
Il s'agit d'intégrer (19) [ρ S / (2 m)] dd = - v3 dv / (A v4 - B v2 + C)
Pour limiter la longueur (déjà impressionnante)
des expressions, on écrira la solution sous la forme (ρS
/ 2m) d = g (v) + Cte où Cte est une constante quelconque
qu'on prendra d'ailleurs nulle.
On verra que g (v) s'écrit sous la forme g (v) = ln[P(v)] +
Q(v).
Quand v passe de vD (début) à
vF (fin) la distance parcourue Δd est
donnée par
[ρ S / (2m)] Δd = g (vF) - g
(vD) = ln[P(vF)] + Q(vF) -
ln[P(vD)] - Q(vD) = ln[P(vF) /
P(vD)] + Q(vF) - Q(vD)
L'intégration9 conduit aux résultats suivants :
Remarque : les distances calculées sont des distances sur trajectoire. Pour obtenir des distances "sol" il convient, si le vent est nul, de les multiplier par cos γ (en présence de vent, c'est à peine plus compliqué). L'impact est de 1 % pour - γ = 8° (14 %) donc généralement négligeable sur les pentes habituelles d'approche.
Les expressions ci-dessus sont un peu copieuses, mais il suffit de les rentrer une fois pour toutes dans un tableur pour avoir un outil donnant d en fonction de la pente, des conditions d'altitude, de température et de pression, et de la masse de l'avion.
Calcul de t en fonction de v (pour mémoire)
L'intégration de (18) {ρ S g / [2 m a (αd - 1)]}1/2 dt = - v2 dv / (A v4 - B v2 + C) se fait de façon similaire à celle de (19).
En intégrant, on trouve {ρ S g / [2 m a
(αd - 1)]}1/2 t = f (v) + Cte
Quand v passe de vD (début) à
vF (fin) le temps écoulé Δt est
donné par
{ρ S g / [2 m a (αd - 1)]}1/2
Δt = f (vF) - f (vD)
On se place dans l'hypothèse où θ - γ
= α - K est assez petit pour qu'on puisse le
considérer comme nul, ce qui revient à
négliger k T devant m g cos γ (cas 3 vu
précédemment), ce qui permet d'appliquer les
équations
(12) m dV/dt = T - (1/2) ρ S Cx V2 - m g sin
γ
(10) (1/2) ρ S Cz V2 = m g cos γ
établies au § 6.
A vitesse de croisière constante V = Vc, on a dV/dt = 0 ;
de plus, en vol horizontal, on a γ = 0.
Donc l'équation (12) donne
(20) T = (1/2) ρ S Cx Vc2
et l'équation (10) s'écrit
(1/2) ρ S Cz V2 = m g
ce qui permet, avec Cz = a α, de calculer α
(21) α = 2 m g / (ρ S a Vc2).
De plus, avec V = Vc, l'équation (13) donne
(22) T = Qh P / n + Uh ρ Vc2.
En synthèse, on a donc les 3 équations :
(20) T = (1/2) ρ S Cx Vc2
(21) α = 2 m g / (ρ S a Vc2)
(22) T = Qh P / n + Uh ρ Vc2
avec de plus la relation Cx = b + c α2.
Le calcul conduit10 à
(23) Vc2 = [- T0 - (Δ / 4)1/2] /
M
avec M = ρ (2 Uh - b S)
N = 4 c m2 g2 / [a2 ρ S]
Δ / 4 = T02 + M N.
Conclusion
Le manuel de vol fournit, dans des conditions précisées (type d'hélice, masse m, etc.), un tableau des performances en palier qui donne la valeur de Vc pour différentes valeurs de l'altitude pression Zp (et donc de ρ), de la puissance P donnée par P / P0 et du régime n. Pour chaque ligne de ce tableau, les données doivent vérifier les équations (20), (21) et (22).
Si on fait assez confiance à ce tableau, on peut, grâce aux formules établies ci-dessus, en déduire des paramètres (en lisse) de notre modèle. Si ce n'est pas le cas, on peut au moins en tester la cohérence, et tester la cohérence entre lui et d'autres données du manuel de vol dans la même configuration lisse. On y reviendra dans l'étude du modèle de DR400 dont l'un des objectifs est de déterminer les paramètres du modèle.
On se place, comme pour l'étude du vol en palier, dans l'hypothèse où θ - γ = α - K est assez petit pour qu'on puisse
le considérer comme nul, ce qui revient à
négliger k T devant m g cos γ (cas 3 vu
précédemment).
On peut alors appliquer les
équations établies au § 6
(12) m dV/dt = T - (1/2) ρ S Cx V2 - m g sin
γ
(10) (1/2) ρ S Cz V2 = m g cos γ
avec, comme on l'a vu au § 7
(13) T = Qh P / n + Uh ρ V2.
Rappel : si la montée se fait à puissance P
maximum,
P / n = Φ(σ) P0 / n0
avec Φ(σ) = (σ - C) / (1 - C) où C =
0,12.
On peut donc écrire T = T0 + Uh ρ V2 en
posant T0 = Qh Φ(σ) P0 / n0 ; T0
[en fait T0(σ)] est la traction à puissance maximum et
à vitesse nulle.
Deux vitesses de montée particulières sont
intéressantes : VX, vitesse de montée à pente
maximum (ou meilleur angle de montée) et VY, vitesse de
montée à taux maximum (ou à VZ max, VZ
étant la vitesse verticale). Toutes deux supposent une
montée à puissance maximum.
Il sera aussi intéressant d'étudier la cas
général de la montée à puissance
maximum.
Vitesse VX de montée à pente maximum
Toutes choses égales par ailleurs, on peut
considérer γ, T, θ et α comme des
fonctions de V.
Une condition nécessaire pour que γ soit maximum est
que dγ/dV = 0.
L'étude de ce cas conduit11 à des formules approchées
très correctes :
sin γ = T0 / mg - F
et VX2 = 2 E m g cos γ / ρ
où E est donné par E2 = c / [a2
S (S b - 2 Uh)]
et où F = 2 c / (a2 S E).
Pour VX, on note qu'une bonne approximation s'obtient, sans calculer γ, par VX2 # 2 E m g / ρ.
Par ailleurs, l'étude fournit une méthode itérative pour un calcul de γ plus précis, mais le gain est minime.
Vitesse VY de montée à taux maximum
On peut maintenant considérer V, T, θ et α
comme des fonctions de γ. Il en est de même pour VZ = V
sin γ.
Une condition nécessaire pour que VZ soit maximum est que
dVZ/dγ = 0.
En admettant, pour simplifier les calculs, que m g cos γ # m
g, l'étude de ce cas conduit12 à
VY2 = [- T0 - (Δ' / 4)1/2] / (3
M)
avec M = ρ (2 Uh - b S)
N = 4 c m2 g2 / [a2 ρ S]
Δ' / 4 = T02 - 3 M N.
On peut aussi calculer α = 2 m g / (a ρ S
VY2)
d'où Cx = b + c α2 et donc
VZ = [T0 VY + (1/2) ρ VY3 (2 Uh - S Cx)] / (m g)
et enfin γ = arc sin(VZ / VY).
Si, pour être homogène avec l'approximation m g cos
γ # m g admise dans ce calcul de VY, on revient à
l'expression VX2 # 2 E m g / ρ obtenue avec la
même hypothèse, on trouve13 :
(24) VX4 = (3 VY2 - Vc2) /
(Vc-2 + VY-2).
Outre qu'elle est esthétique, cette formule, bien
qu'approchée permet de tester la cohérence des
données du manuel de vol en ce qui concerne les trois
vitesses Vc, VX et VY à puissance maximum.
Vitesse V de montée quelconque, à puissance maximum
Il peut être intéressant de calculer les paramètres de la montée quand celle-ci s'effectue à vitesse quelconque.
On part des équations
(12) m dV/dt = T - (1/2) ρ S Cx V2 - m g sin
γ
(10) (1/2) ρ S Cz V2 = m g cos γ.
On bénéficie de l'expérience des deux
études précédentes qui nous ont indiqué
quelles approximations sont acceptables en pratique.
A puissance maximum, on a de plus T = T0 + Uh ρ V2 où T0 = Qh Φ(σ) P0 / n0.
En plus de dV/dt = 0 puisqu'on est à vitesse constante, on admet que m g cos γ = m g comme on l'avait fait pour le calcul de VY.
Si on connait V, (10) nous donne immédiatement α =
Cz / a
α = 2 m g / (ρ S a V2).
On peut donc calculer Cx = b + c α2, et donc
sin γ par l'équation (12)
m g sin γ = T - (1/2) ρ S Cx V2
m g sin γ = T0 + Uh ρ V2 - (1/2) ρ S Cx
V2
sin γ = [T0 + (Uh - S Cx / 2) ρ V2] / (m
g).
Il est aussi intéressant de calculer VZ = V sin
γ
VZ = [T0 + (Uh - S Cx / 2) ρ V3] / (m g).
Remarque : il est très facile de calculer plus
précisément γ en ne faisant pas l'approximation
m g cos γ = m g.
Il suffit de prendre un paramètre γ_initial = 0, puis
de calculer α = 2 m g cos γ_initial / (ρ S a
V2).
Le calcul de sin γ donne alors une valeur approchée de
γ que l'on peut reporter dans γ_initial, et ainsi de
suite mais en pratique une seule itération suffit. On
s'aperçoit alors en prenant pour V des valeurs voisines de
la valeur calculée pour VY, que cette dernière (VY)
n'est qu'approximative : on trouve, pour des valeurs voisines de
VY, une valeur de γ plus élevée que celle
pourtant réputée maximum, obtenue pour VY.
Ce sujet sera traité dans une édition ultérieure.
Dans les deux cas (décollage et atterrissage), la pente γ est croissante ; on a, si R est le rayon de l'arc de cercle, une accélération centripète V2 / R dirigée vers le haut. Donc, avec la convention de signe adoptée pour dVz/dt, on a dVz/dt = V2 / R.
Si on simplifie les notations en remplaçant dVx/dt par
dV/dt, les équations (2) et (3) du modèle deviennent
:
(7) m dV/dt = T cos(θ - γ) - (1/2) ρ S Cx
V2 - m g sin γ
(équation identique à celle déjà vue,
mais la pente γ n'est plus constante)
(25) m V2 / R = T sin(θ - γ) + (1/2) ρ S
Cz V2 - m g cos γ
Cas particulier
Si T = 0 (cas de l'atterrissage sans moteur ou moteur
réduit), ces équations deviennent :
(9) - m dV/dt = (1/2) ρ S Cx V2 + m g sin
γ
[même remarque que pour l'équation (7)]
(26) m V2 / R = (1/2) ρ S Cz V2 - m g cos
γ
Il est tentant de traiter ce cas simple en premier.
On peut raisonnablement supposer que cette phase de
l'atterrissage est précédée d'une descente sur
une pente constante γD (avec "D" comme
"début"), et abordée avec une vitesse VD ;
l'avion est alors à une hauteur h au-dessus de la piste.
Elle se termine par une pente γF = 0 (devinez
pourquoi "F"), avec un toucher de la piste à une vitesse
VF qui se situe normalement entre Vs et 1,15 Vs (en
dessous, c'est brutal, au-dessus, on "efface" la piste).
On peut commenter à l'infini la conformité de ce
modèle à un atterrissage réel où
l'arrondi se termine en fait à plus de 1,15 Vs et à
quelques dizaines de cm du sol, et est suivi par un éventuel
palier horizontal de décélération, puis une
pente d'environ 1,5% se terminant par un toucher entre Vs et 1,15
Vs. Ce modèle, que j'avais utilisé dans une
édition antérieure de ce site, est inutilement
compliqué : d'abord parce que le résultat (distance
d'atterrissage) ne change pas d'un mètre quand, à
vitesse de présentation identique, on fait varier la forme
de la trajectoire finale ; mais surtout parce que l'erreur due
à cet espect du modèle est largement
négligeable devant le fait que je ne prends pas en compte
l'effet de sol qui, à la fois réduit la
traînée et augmente la portance, et cela de
façon significative...
Un peu de trigonométrie montre que h = 2 R
sin2(γD / 2) = R (1 - cos γ
D)
et que la distance sol parcourue entre le passage à la
hauteur h et le point d'impact est darr = h / tg (-
γD) + R tg(- γD / 2) en tenant
compte du fait que γD est négatif ; le
premier terme est la distance sol au "point d'impact virtuel" qui
serait le point de toucher si au lieu d'arrondir on conservait la
pente γD.
On en déduit que darr = h / tg (-
γD) + h tg(- γD / 2) / [2
sin2(- γD / 2)]
et donc darr / h = 1 / tg(- γD) + 1 /
[2 sin(- γD / 2) cos(- γD / 2)] =
cos(- γD) / sin(- γD) + 1 / sin(-
γD) = [1 + cos(- γD)] / sin(-
γD).
Ordres de grandeur
Si p est la pente en % (p = 100 sin γD) on a,
pour p assez petit, cos γD # 1 et donc
darr / h # - 200 / p.
On a, de plus, R = h / [2 sin2(γD / 2)]
# h / [2 (p / 200)2] = 20 000 h / p2.
Par ailleurs, en posant VD = vD Vs et VF = vF Vs,on voit que l'accélération V2 / R est maximum pour v (= V / Vs) = vD ; pour le confort des passagers, on admet 0,2 g en aviation commerciale, soit (vD Vs)2 / R ≤ 0,2 g.
Enfin, au moment du toucher, il faut que VF soit
supérieure ou égale à la vitesse de
décrochage, qui, sous un facteur de charge n = 1 +
VF2 / (R g), est de Vs (n)1/2.
Donc VF ≥ Vs [1 + VF2 / (R
g)]1/2
1 + VF2 / (R g) ≤
vF2
vF2 [1 - Vs2 / (R g)] ≥ 1.
Si p = - 5, darr / h # 40 : un arrondi à h = 1
m donne un toucher à darr = 40 m ; on a alors R #
20 000 x 1 / 25 = 800 m.
Le confort des passagers impose (vD Vs)2 ≤
0,2 g R soit (vD Vs)2 ≤ 0,2 x 9,81 x 800
et donc (vD Vs)2 ≤ 1570 ; on en
déduit vD ≤ 39,62 / Vs.
Avec Vs = 96,2 km/h soit 96,2/3,6 # 26,7 m/s, on obtient
vD ≤ 39,62 / 26,7 soit vD ≤ 1,48.
Enfin, vF2 ≥ 1 / [1 - Vs2 / (R
g)] implique vF2 ≥ 1 / [1 -
26,72 / (800 x 9,81)], soit vF2
≥ 1,1 et donc vF ≥ 1,05.
Ces valeurs numériques indiquent des limites plausibles pour
vD et vF : si après une finale sur une
pente de 5% on n'arrondit qu'à un mètre au-dessus du
sol, on doit approcher à moins 1,5 Vs pour rester dans une
zone de confort acceptable ; et toujours dans cette
hypothèse d'arrondi à un mètre du sol, on doit
toucher à une vitesse suffisante (1,05 Vs au minimum) pour
ne pas décrocher à cause de la ressource. Mais ces
remarques ne résultent que d'une simple étude
géométrique, il reste bien sûr à
calculer la décélération réelle
vD - vF pour savoir quelle vitesse
vD permet d'arriver en fin d'arrondi à la vitesse
vF souhaitée.
Décélération vD - vF
On part des équations :
(9) - m dV/dt = (1/2) ρ S Cx V2 + m g sin
γ
(26) m V2 / R = (1/2) ρ S Cz V2 - m g cos
γ
auxquelles s'ajoutent :
Les conditions initiales sont γ = γD et V
= VD,
et les conditions finales γ = γF = 0 et V =
VF.
Comme on l'a fait au § 9 pour
l'étude de la descente à pente constante, il est
commode d'exprimer V en fonction de la vitesse de décrochage
Vs, et donc de prendre la variable réduite v = V / Vs.
L'équation (11) nous donne Vs2 = 2 m g / [a ρ
S (αd - 1)].
En effectuant ce changement de variable, et en considérant v comme fonction de γ, on arrive14 à l'équation :
(27) - A' v dv/dγ = B' v2 + C' + D' /
v2
avec
A' = 2 m / (ρ S R k) où k = π / 180
B' = b + 4 c m2 / (ρ S a R)2
C' = 4 c m (αd - 1) cos γ / (ρ S a R) +
a (αd - 1) sin γ
D' = c (αd - 1)2 cos2
γ
Les apppelations A' à D' visent à
différentier les coefficients calculés ici de ceux
que nous avions rencontrés dans l'étude de la
descente à pente constante (je commence à manquer de
lettres...).
A défaut de pouvoir l'intégrer simplement, nous
pouvons utiliser cette équation différentielle pour
effectuer un calcul numérique grâce à un
tableur.
Et puisque nous faisons une intégration numérique,
autant la faire avec des équations aussi complètes
que possible : nous pouvons donc introduire l'effet de sol en
remplaçant c par c Xes où, comme nous l'avons au § 8, Xes est donné par
(14) 100 Xes = 108,29 + 24,12 ln(h / E).
Partant de conditions initiales où γD et vD sont connus, on peut utiliser directement l'équation différentielle pour calculer, à l'aide d'un tableur, les valeurs de v correspondant aux valeurs successives γD + Δγ, γD + 2 Δγ, etc. En effet, si Δγ est assez petit, la vitesse (vD + Δv) correspondant à γD + Δγ peut être prédite par vD + Δv # vD + (dv/dγ)D Δγ.
Cette méthode de calcul est mise en oeuvre dans le
fichier Excel 15m_sol.xls (feuille de calcul "Outil") que nous
utiliserons lors de l'étude de l'atterrissage.
Cet outil donne, en fonction de la pente et de la vitesse initiales
(respectivement γD et vD), des
conditions d'altitude, de température et de pression, et de
la masse de l'avion, la valeur de la vitesse finale vF
au moment du toucher des roues. Cette vitesse ne dépend plus
que de la hauteur h à laquelle commence l'arrondi. A h
donné, la lecture de vF est directe. A
vF donnée, la fonction solver permet de
déterminer la valeur h correspondante.
Le seul problème, qui n'en est pas vraiment un, est de
déterminer la valeur de l'incrément Δγ,
ou, ce qui revient au même, le nombre de pas égal
à (-γD) / Δγ. En pratique, il
suffit d'augmenter progressivement le nombre de pas pour voir
qu'avec 100 pas on a déjà un résultat
très précis ; il suffit de passer à 300 ou 500
pas pour constater que le résultat (vF ou h selon
ce que l'on cherche) ne change pas.
Exemple d'application : en revenant à notre exemple numérique avec p = - 5 et un arrondi à h = 1 m, on voit (au niveau de la mer, dans des conditions normales de température et de pression, à la masse maximum à l'atterrrissage, et avec des paramètres a, b, c, etc. encore approximatifs et donc encore à optimiser pour 2 crans de volets) que si vD = 1,48 (maximum pour une accélération acceptable pour les passagers), on touche à vF = 1,43 ce qui est beaucoup trop. Pour toucher à vF = 1,15, il faut arrondir à vD = 1,22 ; ou arrondir plus haut, par exemple environ 2,70 m pour une approche à vD = 1,3.
Ce sujet sera traité dans une édition ultérieure.
Pour des raisons que nous verrons dans l'étude détaillée de l'atterrissage (mais que l'on peut résumer par un souci de simplifier les calculs...) nous nous limiterons au cas du roulement à assiette constante.
On a vu au § 6 que les
équations de l'avion en vol moteur réduit (T = 0)
sont :
m dVx/dt = - Rx - m g sin γ avec Rx = (1/2) ρ S Cx
V2
m dVz/dt = Rz - m g cos γ avec Rz = (1/2) ρ S Cz
V2.
Lors du roulement apparait sur chaque roue en contact avec le sol
une force de frottement qui s'ajoute à la
traînée aérodynamique Rx et dont l'amplitude
est proportionnelle à la force Fz d'appui sur la roue. En
toute rigueur, on devrait donc distinguer train principal et
roulette de nez, en tenant compte de la répartition des
forces entre les deux. Mais nous admettrons qu'on puisse approximer
la force de frottement résultante par F x ΣFz ; la
littérature donne F = 0,02 pour une piste en dur et 0,1 pour
une piste en herbe.
Pour tenir compte de l'éventuelle pente de la piste, il
est intéressant, au moins dans un premier temps, de ne pas
considérer que γ = 0 (on admettre néanmoins que
hors atterrissage sur altiport, on a cos γ = 1).
Les équations deviennent :
m dVx/dt = - Rx - m g sin γ - F ΣFz
m dVz/dt = ΣFz + Rz - m g.
La trajectoire étant une droite, dVz/dt = 0 ; on peut
donc simplifier les notations en écrivant dVx/dt =
dV/dt.
On alors ΣFz = m g - Rz (on s'en serait douté...),
et
(28) m dV/dt = - Rx - m g sin γ - F (m g - Rz)
On doit bien sûr ajouter les équations complémentaires :
A assiette θ et pente γ constantes, on a α constant d'après l'équation (1) ; il en est donc de même de Cx et Cz.
L'exploitation de l'équation (28) donne15 les résultats suivants :
Ce sujet sera traité dans une édition ultérieure.
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1Vitesse
J'avais prévenu qu'il y aurait des notes de renvoi...
La vitesse V utilisée ici est la vitesse vraie (en anglais TAS = true air speed).
Elle est en général différente de celle
indiquée par le badin (IAS = indicated air speed).
Il y a à cela une raison majeure, qui réside dans le
principe même de cet anémomètre : le badin
mesure la différence entre la pression totale, fournie par
le tube de Pitot, et la pression statique, fournie par les deux
prises de pression statique situées de chaque
côté du fuselage ; cette différence s'appelle
pression dynamique et est égale à ρ V2
/ 2.
Pour afficher une vitesse, le badin doit "supposer" une valeur de
ρ : c'est ρ = ρ0 (conditions standards au
niveau de la mer) qui a été choisi pour
l'étalonner. S'il est soumis à la pression dynamique
ρ V2 / 2, il interprète donc cette pression
dynamique comme ρ0 V'2 / 2 et affiche
donc V' = V x racine (ρ / ρ0).
A cette erreur d'interprétation de la pression dynamique (qui n'en est plus une dès lors qu'on peut en effectuer la correction), s'ajoutent les erreurs des capteurs:
Pour passer de la vitesse IAS indiquée par le badin à la vitesse réelle TAS, il y a donc plusieurs corrections à apporter que l'on peut retenir par le mnémonique ICE-T (comme thé glacé) pour rappeler l'ordre des valeurs successives : I(AS) puis C(AS) puis E(AS) puis T(AS).
Dans le cas d'un avion léger comme le DR400, on pourra se limiter à deux corrections :
La première correction peut apparaitre comme du
pinaillage mais est utile pour l'évaluation de la vitesse
d'approche : 1,3 fois la vitesse de décrochage, ce n'est pas
1,3 fois la vitesse indiquée au décrochage mais 1,3
fois la vitesse corrigée.
Exemple : le manuel de vol donne au décrochage IAS = 43 kt
et CAS = 50 kt. La bonne vitesse d'approche est CAS = 1,3 x 50 = 65
kt (le manuel de vol indique alors que IAS = CAS = 65 kt) et non
1,3 x 43 kt = 56 kt.
La deuxième correction est utile pour évaluer la vitesse sol (pour autant qu'on tienne compte de celle du vent...). Ainsi, au FL 75, ρ = 0,978 en conditions standards ; donc TAS # CAS x racine (ρ0 / ρ) = CAS x racine (1,225 / 0,978) # 1,12 CAS (on retrouve le résultat de la règle classique qui donne + 1% par tranche de 600 ft, et donc ici 75 / 6 = 12,5 tranches).
Est-ce à dire qu'on doit utiliser la calculette en finale pour estimer la vitesse réelle d'approche ? La réponse est non, et heureusement pour la sécurité des passagers. Car les équations de la mécanique du vol montrent que les forces en présence sont fonction de ρ V2, et donc pas de la vitesse vraie V = TAS, mais de l'EAS, quasiment identique à la CAS (correction de compressibilité négligeable) elle même pratiquement égale à l'IAS (vitesse indiquée) tant que l'avion est significativement au-dessus de la vitesse de décrochage.
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2Angles en degrés : attention, piégeant !
Le choix entre degrés et radians est une question de convention, généralement sans incidence autre que l'apparition ici ou là de la constante multiplicative k = π / 180.
Mais ce coefficient k ne doit surtout pas être oublié dans les calculs trigonométriques portant sur des angles en degrés.
Soient ω et Ω les mesures respectivement en
degrés et en radians d'un même angle. On a Ω = k
ω.
Si j'ai choisi d'exprimer tous les angles en degrés, il me
sera commode d'écrire par exemple y = sin(ω) avec
ω en degrés, de même qu'on dit "sin 30°" ;
mais attention, c'est un abus de langage. Car les fonctions
trigonométriques étant définies pour des
arguments en radians, quand j'écris "y = sin(ω)" avec
ω en degrés, je veux dire en fait y = sin(Ω) =
sin(k ω).
Donc, attention par exemple, à ne pas écrire par
réflexe d[sin(ω)]/dω = cos(ω). Car il
s'agit en fait de d[sin(k ω)]/dω = k cos(k
ω).
Toujours par abus de langage, on écrira
d[sin(ω)]/dω = k cos(ω) en omettant k dans
les arguments des fonctions trigonométriques.
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3Choix de A_réf et dénomination des angles
Il y a pour le choix de A_réf différentes écoles, et de plus la dénomination des angles diffère selon les sources : ce que les Etats-Unis appellent respectivement "incidence" (K) et "angle d'attaque" (α) est appelé en France "angle de calage" (d'où mon choix de K comme kalage) et "incidence". On devine dès lors les confusions possibles, en particulier une ambiguïté totale sur le terme "incidence".
La dénomination française d'angle de calage est commode quand A_réf correspond à la direction de la corde de profil, dans le cas très particulier où celà a un sens, comme nous l'avons vu. Car elle évoque bien alors la rotation que l'on a fait subir à l'aile par rapport à l'axe du fuselage. Mais du même coup, elle évoque tellement cet aspect géométrique qu'elle introduit une confusion dans tous les autres cas (aile vrillée, choix différent de A_réf) ou simplement quand on étudie l'aile équivalente, dont le calage est différent de celui de l'aile seule.
N'étant pas expert, je ne me permets pas d'avoir une opinion tranchée ; l'essentiel, puisqu'il peut y avoir confusion, me parait être d'expliciter les notations. Dans la suite, j'ai prudemment choisi d'appeler les angles uniquement par leurs symboles "K" et "α". Néanmoins, j'aime bien le terme français incidence pour désigner α. Il me parait plus intuitif qu'"angle d'attaque relatif" !
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4Influence de la gouverne de profondeur sur la portance de l'avion
Chacun des objets que nous étudions (modèle, aile, et gouverne) est défini par ses propres paramètres S, a, b, c, K qui, en fonction de α déterminent Cz et Cx et donc Rz = (1/2) ρ S Cz V2 et Rx = (1/2) ρ S Cx V2.
Nous ferons l'hypothèse que ρ et V sont à tout instant identiques pour les trois objets, et que la direction du vent relatif est uniforme. Si c'est assez évident pour l'aile et le modèle à aile unique, ça l'est moins pour la gouverne de profondeur, surtout en ce qui concerne la direction du vent relatif.
C'est même faux !
La portance de l'aile résulte en partie de la différence de pression entre extrados et intrados (équation de Bernouilli), et ce phénomène se traduit par une accélération de l'air coté extrados par rapport à celui côté intrados. C'est dire que l'hypothèse d'une vitesse de module constant est hasardeuse...
Mais la portance ne résulte pas seulement de ce phénomène comme on le dit souvent à tort, mais aussi du principe de conservation de la quantité de mouvement qui conduit à dire qu'une partie de la portance résulte d'une déflexion vers le bas du flux d'air en aval du bord de fuite. Donc l'hypothèse d'une direction constante du flux d'air est aussi exagérément simplificatrice.
Nous retiendrons cependant ces hypothèses tant qu'il ne
s'agit que d'estimer des ordres de grandeur.
En revanche, la déflexion du flux d'air vers le bas est bien
prise en compte par la théorie qui conduit au calcul de la
traînée induite d'une aile (que nous utiliserons plus
loin dans le calcul de Cx) : la circulation de l'air autour de
l'aile, d'arrière en avant via le dessous de l'aile, fait
que l'air attaque l'aile non pas sous un angle α mais sous un
angle α - αi où αi
porte le nom d'angle induit ; de sorte que la portance tourne de
cet angle αi et qu'apparait une composante
parallèle à la trajectoire ; c'est la
traînée induite.
Pour mémoire, et bien que le paramètre λ
(allongement de l'aile) ne soit défini que plus loin, notons
que αi (en °) = 57,3 Cz / (π λ) =
18,2 Cz / λ.
Mais il ne s'agit pas de construire un avion, seulement de préciser des ordres de grandeur pour comprendre son fonctionnement.
Supposons que l'aile et la gouverne de profondeur aient des surfaces respectives Sa et Sg et des portances respectives (1/2) ρ Sa Cza V2 et (1/2) ρ Sg Czg V2.
Compte tenu du sens opposé de ces deux portances, la
portance résultante s'écrit :
(1/2) ρ S Cz V2 = (1/2) ρ Sa
Cza V2 - (1/2) ρ Sg
Czg V2
On a donc en simplifiant par (1/2) ρ V2
S Cz = Sa Cza - Sg
Czg
Par rapport au centre de gravité, l'égalité des moments des forces en présence s'écrit [en simplifiant encore par (1/2) ρ V2] Sa Cza da = Sg Czg dg si l'on désigne par da et dg les distances entre le centre de gravité et les points d'application des portances de l'aile et de la gouverne de profondeur.
La dernière équation Sa Cza da = Sg Czg dg s'écrit de deux façons intéressantes :
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5Corde moyenne
On peut faire plus compliqué, à savoir
définir une "corde aérodynamique moyenne"
représentative de l'ensemble de l'aile, sur laquelle
s'applique la résultante des forces de pression et de
frottement.
Si c(y) est la longueur de la corde située à une
distance y (y = 0 à E/2) de l'axe de symétrie de
l'aile, la longueur de la corde moyenne est alors donnée
dans la littérature par l'intégrale :
Cmoy = (2/S) x somme de 0 à E/2 de c2(y) dy.
Sa distance à l'axe de symétrie de l'aile est
donnée par une formule sur laquelle je n'ai pas encore mis
la main, mais sûrement du même tonneau vus les
résultats non intuitifs dès lors que l'aile n'est pas
rectangulaire...
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6Equation dans le cas de la descente, moteur réduit, sur une pente constante d'angle γ
On se propose d'exploiter les équations :
(9) - m dV/dt = (1/2) ρ S Cx V2 + m g sin
γ
(10) (1/2) ρ S Cz V2 = m g cos γ
dans le cas particulier (en fait assez général...)
où |α| reste inférieur ou égal à
αd - 2.
On a alors Cz = a α
L'équation (10) donne
Cz = 2 m g cos γ / (ρ S V2)
d'où α = Cz / a = 2 m g cos γ / (a ρ S
V2)
et enfin Cx = b + c α2
Cx = b + c [2 m g cos γ / (a ρ S
V2)]2.
De la dernière expression on déduit :
ρ S Cx V2 / (2 m) = b [ρ S V2 / (2
m)] + [2 c m g2 cos2 γ / (a2
ρ S V2)]
(9) - m dV/dt = (1/2) ρ S Cx V2 + m g sin
γ
donne dV/dt = - ρ S Cx V2 / (2 m) - g sin
γ
qui s'écrit (15) dV/dt = M - L V2 - N /
V2
ou encore (16) V2 dV/dt = - L V4 + M
V2 - N
avec
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7Changement de variable v = V / Vs
(16) V2 dV/dt = - L V4 + M V2 - N
avec
On a vu de plus [équation (11)] que Vs2 = 2 m g / [a ρ S (αd - 1)]
Le changement de variable v = V / Vs donne :
Vn = Vsn vn
et dV = Vs dv
- L V4 + M V2 - N = - L Vs4
v4 + M Vs2 v2 - N = -
Vs4 [L v4 - (M / Vs2)
v2 + N / Vs4].
Or
Donc - L V4 + M V2 - N = - Vs4 [L v4 - (M / Vs2) v2 + N / Vs4] = - Vs4 [ρ S / (2 m)] (A v4 - B v2 + C)
On peut donc écrire l'équation (16) V2
dV/dt = - L V4 + M V2 - N sous la forme
équivalente
Vs3 v2 dv/dt = - Vs4 [ρ S / (2
m)] (A v4 - B v2 + C)
v2 dv/dt = - Vs [ρ S / (2 m)] (A v4 - B
v2 + C)
(17) v2 dv/dt = - J (A v4 - B v2
+ C) où J = Vs [ρ S / (2 m)]
J = {2 m g / [a ρ S (αd - 1)]}1/2
[ρ S / (2 m)] = {ρ S g / [2 m a (αd -
1)]}1/2
avec
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8Etude de Δ = B2 - 4 AC
Δ = B2 - 4 AC
avec
Δ = (αd - 1)2 (a2
sin2 γ - 4 b c cos2 γ)
Δ = a2 (αd - 1)2
cos2 γ (tg2 γ - 4 b c /
a2).
Or 4 b c / a2 = tg2
γf.
Donc Δ = a2 (αd - 1)2
cos2 γ (tg2 γ - tg2
γf).
γ et γf étant négatifs en
descente, il est intéressant de faire apparaitre leurs
opposés qui sont des angles de "pente de descente"
comptés positivement.
On peut donc écrire
Δ = a2 (αd - 1)2
cos2 γ [(tg(- γ) + tg(-
γf)] [(tg(- γ) - tg(-
γf)].
Pour les pentes négatives le signe de Δ est donc celui de tg(- γ) - tg(- γf), c'est-à-dire celui de (- γ) - (- γf)
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9Calcul de d en fonction de v : intégration de (19)
Il s'agit d'intégrer (19) [ρ S / (2 m)] dd = - v3 dv / (A v4 - B v2 + C)
avec
en cherchant une solution sous la forme (ρ S / 2m) d = g (v) + Cte.
Cette intégration implique l'étude de trois cas selon le signe de Δ = B2 - 4 AC qui est aussi celui de (- γ) - (- γf).
Si - γ < - γf et donc Δ < 0
Cherchons à factoriser A v4 - B v2
+ C sous la forme :
A v4 - B v2 + C = A (v4 - B/A
v2 + C/A) = A (v2 + p v + q) (v2 -
p v + q)
On vérifie en effet que (v2 + p v + q)
(v2 - p v + q) = v4 + (2 q - p2)
v2 + q2 = v4 - B/A v2 +
C/A
avec q = (C / A)1/2 = (c / b)1/2
(αd - 1) cos γ
et 2 q - p2 = - B/A soit p2 = B/A + 2 q = [B
+ 2 (AC)1/2] / A ; p = {[B + 2 (AC)1/2] /
A}1/2.
On peut alors écrire
A v3 / (A v4 - B v2 + C) =
v3 / [(v2 + p v + q) (v2 - p v +
q)] = (α v + β) / (v2 + p v + q) + (γ v
+ δ) / (v2 - p v + q)
Par identification, on trouve α = γ = 1/2 et β
= - δ = q / 2p
Donc - 2 A dg(v) = [(v + q/p) / (v2 + p v + q) + (v -
q/p) / (v2 - p v + q)] dv
Une primitive de (Rv + S) / (v2 + p v + q) est
(R/2) ln (v2 + p v + q) + (S - Rp/2) (q -
p2/4)-1/2 arc tg [(v + p/2) (q -
p2/4)-1/2]
(facile à vérifier, mais merci quand même
à mon formulaire !)
Donc - 2 A g(v) = (1/2) ln(v2 + p v + q) + (q/p -
p/2) (q - p2/4)-1/2 arc tg [(v + p/2) (q -
p2/4)-1/2] +
(1/2) ln(v2 - p v + q) + (-q/p +p/2) (q -
p2/4)-1/2 arc tg [(v - p/2) (q -
p2/4)-1/2]
4 A g(v) = ln{1 / [(v2 + p v + q) (v2 - p v +
q)]} + (p - 2 q / p) (q - p2/4)-1/2 {arc tg
[(v + p/2) (q - p2/4)-1/2] - arc tg [(v -
p/2) (q - p2/4)-1/2]}
Cette dernière expression peut se simplifier :
(v2 + p v + q) (v2 - p v + q) peut être
remplacé par A v4 - B v2 + C puisque
la constante multiplicative A n'importe pas dans la fonction
logarithme
(p - 2 q / p) (q - p2/4)-1/2 = 2 B / [4 AC -
B2]1/2 = 2 B / (-Δ)1/2
(calcul facile mais un peu long)
Donc 4 A g(v) = ln[1 / (A v4 - B v2 +
C)] +
[2 B / (-Δ)1/2]{arc tg [(v + p/2) (q -
p2/4)-1/2] - arc tg [(v - p/2) (q -
p2/4)-1/2]}
Si γ = γf et donc Δ = 0
Xd = B / (2A) est alors la racine double de A
X2 - B X + C = 0. Posons vd =
Xd1/2.
On a vu que vd = vf
A v4 - B v2 + C = A (v2 -
vf2)2 = A (v +
vf)2 (v - vf)2
On peut alors écrire
A v3 / (A v4 - B v2 + C) =
v3 / [(v + vf)2 (v -
vf)2] = α / (v + vf) +
β / (v + vf)2 + γ / (v -
vf) + δ / (v - vf)2
v3 = α (v + vf) (v -
vf)2 + β (v - vf)2
+ γ (v + vf)2 (v - vf) +
δ (v + vf)2
Par identification, on trouve α = γ = 1/2 et β = - δ = - vf / 4
Donc - 4 A dg(v) = [2 / (v + vf) - vf / (v
+ vf)2 + 2 / (v - vf) +
vf / (v - vf)2] dv
- 4 A g(v) = 2 ln [(v + vf) (v - vf)] +
vf [1 / (v + vf) - 1 / (v -
vf)]
4 A g(v) = ln {1 / [(v + vf)2 (v -
vf)2]} + vf [1 / (v -
vf) - 1 / (v + vf)]
(v2 - vf2)2 peut être remplacé par A v4 - B v2 + C puisque la constante multiplicative A n'importe pas dans la fonction logarithme ; le deuxième terme ne gagne pas en lisibilité si on le remplace par son expression en fonction de A, B et C.
Donc 4 A g(v) = ln[1 / (A v4 - B v2 + C)] + vf [1 / (v - vf) - 1 / (v + vf)]
Si - γ > - γf et donc Δ > 0
Posons v1 = [(B - Δ1/2) /
(2A)]1/2 et v2 = [(B + Δ1/2)
/ (2A)]1/2 (X1 = v12 et
X2 = v22 étant les deux
racines réelles (positives) de A X2 - B X + C =
0)
A v4 - B v2 + C = A (v2 -
v12) (v2 -
v22) = A (v + v1) (v +
v2) (v - v1) (v - v2)
On peut alors écrire
A v3 / (A v4 - B v2 + C) =
v3 / [(v + v1) (v + v2) (v -
v1) (v - v2)] = α / (v + v1)
+ β / (v + v2) + γ / (v - v1) +
δ / (v - v2)
v3 = α (v - v1) (v2 -
v22) + β (v2 -
v12) (v - v2) + γ (v +
v1) (v2 - v22) +
δ (v2 - v12) (v +
v2)
Par identification, on trouve α = γ = - v12 / [2 (v22 - v12)] et β = δ = v22 / [2 (v22 - v12)]
Donc - 2 (v22 - v12)
A dg(v) = [- v12 / (v + v1) +
v22 / (v + v2) -
v12 / (v - v1) +
v22 / (v - v2)] dv
2 (v22 - v12) A dg(v) =
[v12 / (v + v1) -
v22 / (v + v2) +
v12 / (v - v1) -
v22 / (v - v2)] dv
2 (v22 - v12) A g(v)
= v12 ln [(v + v1) (v -
v1)] - v22 ln [(v + v2)
(v - v2)]
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10Performances en palier
On part des 3 équations :
(20) T = (1/2) ρ S Cx Vc2
(21) α = 2 m g / (ρ S a Vc2)
(22) T = Qh P / n + Uh ρ Vc2
avec de plus Cx = b + c α2.
Chaque ligne du tableau des performances en palier fournit n, P / P0, ρ, m, Vc. Il reste à déterminer les variables indépendantes suivantes :
Il reste à vérifier que la valeur trouvée pour Uh (resp Qh) pour chaque ligne du tableau des performances en palier est bien constante. Ou à l'obtenir en ajustant les variables listées ci-dessus.
On obtient facilement une expression analytique de Vc.
Avec Cx = b + c α2 et en posant T0 = Qh P / n,
les équations (20) et (22) donnent
(1/2) ρ S (b + c α2) Vc2 = T0 + Uh
ρ Vc2
En posant X = Vc2, on a
ρ S (b + c α2) X = 2 T0 + 2 Uh ρ X
2 T0 + (2 Uh - S b) ρ X - ρ S c α2 X =
0.
Or l'équation (21) s'écrit α = 2 m g / (ρ S
a X).
Donc 2 T0 + (2 Uh - S b) ρ X - 4 ρ S c X m2
g2 / (ρ S a X)2 = 0
(2 Uh - S b) ρ X2 + 2 T0 X - 4 c m2
g2 / (ρ S a2) = 0
En posant M = ρ (2 Uh - S b) et N = 4 c m2
g2 / (ρ S a2), on obtient :
M X2 + 2 T0 X - N = 0.
On note que Qh étant positif, T0 = Qh Φ(σ)
P0 / n0 est positif (et heureusement, car
sinon l'avion reculerait à la mise des gaz au point fixe...)
; on note aussi que Uh étant négatif, M est
négatif ; et que N est positif.
Soit Δ = 4 T02 + 4 M N.
Le signe de Δ n'est pas évident puisque M N est
négatif ; il conviendra donc de vérifier qu'il est
bien positif, même si l'existence d'une vitesse de
croisière Vc ne laisse aucun doute là dessus.
En supposant Δ > 0, les racines sont
X1 = [- T0 - (Δ / 4)1/2] / M et
X2 = [- T0 + (Δ / 4)1/2] / M ;
T0 étant positif et M étant négatif, la racine
X1 est positive ; par ailleurs, N étant positif,
X1 X2 = - N / M est positif : la racine
X2 est également positive. Seule la plus
élevée X1 nous intéresse.
On en déduit (23) Vc2 = X1 = [- T0 - (Δ / 4)1/2] / M.
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11Etude de la vitesse VX de montée à pente maximum - dγ/dV = 0
On part des équations :
(12) m dV/dt = T - (1/2) ρ S Cx V2 - m g sin
γ
(10) (1/2) ρ S Cz V2 = m g cos γ
avec T = T0 + Uh ρ V2 où T0 = Qh
Φ(σ) P0 / n0.
On cherche quelle valeur de V donne dγ/dV = 0.
Avec dV/dt = 0 puisque la vitesse V est supposée
constante, l'équation (12) s'écrit
m g sin γ = T - (1/2) ρ S Cx V2.
En dérivant par rapport à V, on a en posant k = π
/ 180 :
k m g cos γ dγ/dV = dT/dV - (1/2) ρ S V2
dCx/dV - ρ S Cx V.
Or on a
Donc 2 Uh ρ V - (1/2) ρ S V2 dCx/dV - ρ S
Cx V = 0
2 Uh - (1/2) S V dCx/dV - S Cx = 0.
Il nous reste à exploiter l'équation (10), en
notant que Cz = a α
(1/2) ρ S a α V2 = m g cos γ.
En dérivant par rapport à V en tenant compte de
dγ/dV = 0, on peut écrire directement :
(1/2) ρ S a dα/dV V2 + ρ S a α V =
0
(1/2) dα/dV V + α = 0.
En synthèse, on a les deux équations :
(A) T - (1/2) ρ S Cx V2 = m g sin γ
(B) (1/2) ρ S a α V2 = m g cos γ
et les équations dérivées
(C) 2 Uh - (1/2) S V dCx/dV - S Cx = 0
(D) (1/2) dα/dV V + α = 0.
Avec de plus
Cx = b + c α2, et donc dCx/dV = 2 c α
dα/dV
et T = T0 + Uh ρ V2.
On tire de (B)
α = 2 m g cos γ / (a ρ S V2)
α2 = 4 m2 g2 cos2
γ / (a2 ρ2 S2
V4).
On tire de (D)
dα/dV = - 2 α / V.
Donc dCx/dV = 2 c α dα/dV = - 4 c α2 /
V
(C) 2 Uh - (1/2) S V dCx/dV - S Cx = 0 donne
2 Uh - (1/2) S V [- 4 c α2 / V] - S [b + c
α2] = 0
2 Uh - S b + S c α2 = 0.
S b - 2 Uh = S c α2.
Or α2 = 4 m2 g2
cos2 γ / (a2 ρ2
S2 V4).
Donc S b - 2 Uh = 4 c m2 g2 cos2
γ / (a2 ρ2 S V4)
V4 = 4 c m2 g2 cos2
γ / [(S b - 2 Uh) (a2 ρ2 S)].
Uh étant négatif, le membre de droite est bien
positif.
En posant E2 = c / [a2 S (S b - 2 Uh)], on
a
ρV2 = 2 E m g cos γ.
Il nous reste à exploiter (A) T - (1/2) ρ S Cx
V2 = m g sin γ
Avec T = T0 + Uh ρ V2 et Cx = b + c
α2, on a
T0 + Uh ρ V2 - (1/2) ρ S (b + c
α2) V2 = m g sin γ
T0 - (S b - 2 Uh) ρ V2 / 2 - (1/2) ρ S c
α2 V2 = m g sin γ
Or ρ S c α2 V2 = 4 c m2
g2 cos2 γ / (a2 ρ S
V2)
Donc T0 - (S b - 2 Uh) ρ V2 / 2 - 2 c m2
g2 cos2 γ / (a2 ρ S
V2) = m g sin γ
Avec ρV2 = 2 E m g cos γ, on obtient
T0 - (S b - 2 Uh) E m g cos γ - c m2 g2
cos2 γ / (a2 S E m g cos γ) = m g
sin γ
T0 - (S b - 2 Uh) E m g cos γ - c m g cos γ /
(a2 S E) = m g sin γ
T0 / mg - [(S b - 2 Uh) E + c / (a2 S E)] cos γ =
sin γ
T0 / mg - F cos γ = sin γ
avec F = [(S b - 2 Uh) E + c / (a2 S E)]
F2 = (S b - 2 Uh)2 E2 +
c2 / (a4 S2 E2) + 2 c
(S b - 2 Uh) / (a2 S)
F2 = c (S b - 2 Uh) / (a2 S) + c (S b - 2 Uh)
/ (a2 S) + 2 c (S b - 2 Uh) / (a2 S)
F2 = 4 c (S b - 2 Uh) / (a2 S).
On note que E2 F2 = 4 c2 /
(a4 S2)
et donc F = 2 c / (a2 S E).
On peut maintenant calculer X = sin γ.
Puisque T0 / mg - F cos γ = sin γ
on a X = T0 / mg - F (1 - X2)1/2.
On pourrait résoudre l'équation du second
degré, mais il est plus astucieux de procéder par
itérations : on peut calculer une bonne valeur
approchée de X par X0 = T0 / mg - F, une
meilleure par X1 = T0 / mg - F (1 -
X02)1/2, et ainsi de suite bien
que X1 suffise largement.
Une application numérique avec le DR400/140 donne γ =
8,6° et VX = 131,1 km/h par le calcul de X0 ;
l'évaluation de X1 donne γ = 8,7° et VX
inchangé ; les itérations suivantes n'apportent rien
de plus.
Conclusion
En posant E2 = c / [a2 S (S b - 2 Uh)]
et F = 2 c / (a2 S E)
on peut calculer sin γ = X0 = T0 / mg - F
ou mieux par itérations successives (une itération
suffit !) sin γ = Xn = T0 / mg - F (1 -
Xn-12)1/2
et VX par VX2 = 2 E m g cos γ / ρ.
Si on n'a pas besoin de calculer γ, VX2 # 2 E m g
/ ρ suffit ; dans l'application numérique qui a conduit
à VX = 131,1 km/h, le calcul avec cette formule
approchée donne VX = 131,8 km/h.
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12Etude de la vitesse VY de montée à taux maximum - dVZ/dγ = 0
On part des équations :
(12) m dV/dt = T - (1/2) ρ S Cx V2 - m g sin
γ
(10) (1/2) ρ S Cz V2 = m g cos γ
avec T = T0 + Uh ρ V2 où T0 = Qh
Φ(σ) P0 / n0.
On cherche quelle valeur de V donne dVZ/dγ = 0, sachant que VZ = V sin γ.
Avec dV/dt = 0 puisque la vitesse V est supposée
constante, l'équation (12) s'écrit
m g sin γ = T - (1/2) ρ S Cx V2.
Donc, en multipliant par V et en tenant compte de l'expression T =
T0 + Uh ρ V2, on a
mg VZ = T0 V + Uh ρ V3 - (1/2) ρ S Cx
V3
et donc mg VZ = T0 V + (1/2) ρ V3 (2 Uh - S Cx).
On en déduit que dVZ/dγ = 0 équivaut
à
T0 dV/dγ + (3/2) ρ V2 (2 Uh - S Cx)
dV/dγ - (1/2) ρ V3 S dCx/dγ = 0.
Comme Cx = b + c α2, on a dCx/dγ = 2 c
α dα/dγ.
Or nous pouvons trouver α grâce à
l'équation (10), qui s'écrit, avec Cz = a α
(1/2) ρ S a α V2 = m g cos γ.
Admettons que m g cos γ # m g.
L'équation (10) devient
(1/2) ρ S a α V2 = m g
ρ S a α = 2 m g / V2
ρ2 S2 a2 α2 =
4 m2 g2 / V4.
On a alors par dérivation
2 ρ2 S2 a2 α
dα/dγ = - 16 m2 g2 dV/dγ /
V5.
Dans l'équation T0 dV/dγ + (3/2) ρ
V2 (2 Uh - S Cx) dV/dγ - (1/2) ρ V3
S dCx/dγ = 0, on peut maintenant calculer le terme - (1/2)
ρ V3 S dCx/dγ = - ρ S c V3
α dα/dγ = 8 c m2 g2
dV/dγ / [ρ S a2 V2].
Par ailleurs, le terme (3/2) ρ V2 (2 Uh - S Cx)
s'écrit
(3/2) ρ V2 (2 Uh - S Cx) = (3/2) ρ V2
[2 Uh - S (b + c α2)] = (3/2) ρ V2
(2 Uh - S b) - (3/2) ρ V2 S c α2 =
(3/2) ρ V2 (2 Uh - S b) - 6 c m2
g2 / [a2 ρ S V2].
On remarque que dVZ/dγ = 0 implique, puisque VZ = V sin
γ, dV/dγ sin γ + V cos γ = 0 ; donc
dV/dγ = - V / tg γ est non nul.
En posant X = V2, l'équation complète
équivaut donc à
T0 + (3/2) ρ X (2 Uh - S b) - 6 c m2 g2 /
[a2 ρ S X] + 8 c m2 g2 /
[ρ S a2 X] = 0.
Avec les constantes M = ρ (2 Uh - b S)
et N = 4 c m2 g2 / [a2 ρ S]
que nous avons déjà vues dans l'étude de la
vitesse de croisière Vc
l'équation devient : 2 T0 + 3 M X + N / X = 0 ou 3 M
X2 + 2 T0 X + N = 0.
On sait que Qh étant positif, T0 = Qh Φ(σ)
P0 / n0 est positif ; on sait aussi que Uh
est négatif, et donc que M est négatif ; enfin, N est
positif.
Les solutions de 3 M X2 + 2 T0 X + N = 0 sont
données par le calcul de Δ' = 4 (T02 - 3 M
N) avec
3 M N = 12 (2 Uh - b S) c m2 g2 /
(a2 S).
M N est négatif, donc Δ' est toujours positif ; le
contraire serait surprenant car s'il n'y avait pas de vitesse de
montée à VZ max, ça se saurait.
Les racines sont donc X1 = [- T0 - (Δ' /
4)1/2] / (3 M) et X2 = [- T0 + (Δ' /
4)1/2] / (3 M) ;
T0 étant positif et M étant négatif, la racine
X1 est positive ; par ailleurs, N étant positif,
X1 X2 = N / (3 M) est négatif : les
racines sont de signes contraires, et la racine X2 qui
est donc négative ne convient pas.
On en déduit VY2 = X1 = [- T0 - (Δ' / 4)1/2] / (3 M).
Il est aussi intéressant de calculer
α = 2 m g / (a ρ S VY2) = 2 m g / (a ρ S
X1)
d'où Cx = b + c α2 et donc
VZ = [T0 VY + (1/2) ρ VY3 (2 Uh - S Cx)] / (m g)
et enfin γ = arc sin(VZ / V).
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13Relation entre VX, VY et Vc à puissance max
On part des équations
VX2 = 2 E m g / ρ avec E2 = c /
[a2 S (S b - 2 Uh)]
Vc2 = [- T0 - (Δ / 4)1/2] / M avec M =
ρ (2 Uh - b S), N = 4 c m2 g2 /
[a2 ρ S] et Δ / 4 = T02 + M N
VY2 = [- T0 - (Δ' / 4)1/2] / (3 M) avec
Δ' / 4 = T02 - 3 M N
sachant que X = Vc2 est solution de M X2 + 2 T0 X - N = 0 et que Y = VY2 est solution de 3 M Y2 + 2 T0 Y + N = 0.
Des deux dernières équations on tire, en divisant
la première par - M X et la deuxième par M Y, puis en
additionnant
- X - 2 T0 / M + N / (M X) + 3 Y + 2 T0 / M + N / (M Y) = 0
3 Y - X + (N / M) (1 / X + 1 / Y) = 0
(3 Y - X) / (X-1 + Y-1) = - N / M.
Or - N / M = 4 c m2 g2 / [a2
ρ2 S (b S - 2 Uh)].
Sachant que VX4 = 4 E2 m2
g2 / ρ2 = 4 c m2 g2
/ [a2 ρ2 S (S b - 2 Uh)]
on a - N / M = VX4.
Avec X = Vc2 et Y = VY2, on obtient :
(27) VX4 = (3 VY2 - Vc2) /
(Vc-2 + VY-2).
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14Etude de l'arrondi à l'atterrissage
Il s'agit d'exploiter les équations :
(9) - m dV/dt = (1/2) ρ S Cx V2 + m g sin
γ
(26) m V2 / R = (1/2) ρ S Cz V2 - m g cos
γ
auxquelles s'ajoutent :
Les conditions initiales sont γ = γD et V
= VD,
et les conditions finales γ = γF = 0 et V =
VF.
Du fait du mouvement circulaire, on a V = (R k) dγ/dt
où k = π / 180 avec γ en degrés.
On peut considérer V comme fonction de γ, avec γ
fonction de t ; donc on peut écrire : dV/dt = dV/dγ
dγ/dt = dV/dγ V / (R k)
Posons v = V / Vs avec Vs2 = 2 m g / [a ρ S (αd - 1)]
V = v Vs implique V2 = v2 Vs2,
dV/dt = Vs dv/dt et dV/dγ = Vs dv/dγ.
De dV/dt = dV/dγ V / (R k), on tire :
dV/dt = Vs dv/dγ v Vs / (R k) = [Vs2 / (R k)] v
dv/dγ
Avec ce changement de variable, les équations (9) et (26) deviennent :
Recherche d'une expression analytique
Puisque Cz = a α, on peut tirer α de la deuxième équation, et reporter l'expression ainsi obtenue dans Cx = b + c α2 ; en reportant ensuite Cx dans la première équation, on obtiendra une équation différentielle.
(1/2) ρ S a α v2 = m v2 / R +
(1/2) a ρ S (αd - 1) cos γ
α = 2 m / (ρ S a R) + (αd - 1) cos
γ / v2
Cx = b + c α2 donne
Cx = b + 4 c m2 / (ρ S a R)2 + 4 c m
(αd - 1) cos γ / [(ρ S a R)
v2] + c (αd - 1)2
cos2 γ / v4.
En reportant cette expression de Cx dans la première
équation que l'on peut écrire
- [2 m / (ρ S R k)] v dv/dγ = Cx v2 + a
(αd - 1) sin γ
on obtient une expression de la forme
(27) - A v dv/dγ = B v2 + C + D /
v2
avec
A = 2 m / (ρ S R k)
B = b + 4 c m2 / (ρ S a R)2
C = 4 c m (αd - 1) cos γ / (ρ S a R) + a
(αd - 1) sin γ
D = c (αd - 1)2 cos2
γ
Dans le contexte de la présente note, il n'y a aucun risque de confusion avec des notations antérieures, mais pour la suite, nous remplacerons A, B, C et D par A', B', C' et D'.
Posons X = v2 ; on peut écrire, puisque
dX/dγ = 2 v dv/dγ
- (A/2) dX/dγ = B X + C + D / X
- (A/2) X dX/dγ = B X2 + C X + D
Le problème est que C et D étant des fonctions de
γ, on ne peut pas séparer les variables en
écrivant - (A/2) X dX / (B X2 + C X + D) =
dγ
Il serait mathématiquement faux, mais physiquement
convaincant, de considérer que cos γ # 1, mais
malheureusement il reste le terme en sin γ dans l'expression
de C.
L'équation différentielle (27) n'est donc pas aisément intégrable. Il faudra donc l'exploiter autrement.
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15Etude du roulement à l'atterrissage
Il s'agit d'exploiter les équations :
(28) m dV/dt = - Rx - m g sin γ - F (m g - Rz)
Rx = (1/2) ρ S Cx V2
Rz = (1/2) ρ S Cz V2
(1) θ + K = γ + α.
Posons v = V / Vs avec Vs2 = 2 m g / [a ρ S (αd - 1)]
V = v Vs implique V2 = v2 Vs2
et dV/dt = Vs dv/dt.
(28) qui s'écrit
m dV/dt = F Rz - Rx - m g (F + sin γ)
- dV/dt = ρ S (Cx - F Cz) V2 / (2 m) + g (F + sin
γ)
devient :
- Vs dv/dt = g (Cx - F Cz) v2 / [a (αd
- 1)] + g (F + sin γ)
- a (αd - 1) Vs (dv/dt) / [g (Cx - F Cz)] =
v2 + a (αd - 1) (F + sin γ) / (Cx
- F Cz).
Posons Q = a (αd - 1) (F + sin γ) / (Cx - F Cz).
Intégration de - a (αd - 1) Vs (dv/dt) / [g (Cx - F Cz)] = v2
Si Cx - F Cz > 0
Posons q2 = Q.
- a (αd - 1) Vs (dv/dt) / [g (Cx - F Cz)] =
v2 + q2
- dv / (v2 + q2) = g (Cx - F Cz) dt / [a
(αd - 1) Vs].
L'intégration donne - arc tg(v / q) = g q (Cx - F Cz) t /
[a (αd - 1) Vs] + Cte
Si à l'instant t1 on a la vitesse v1
et à l'instant t2 la vitesse v2,
t2 - t1 = a (αd - 1) Vs [arc
tg(v1 / q) - arc tg(v2 / q)] / [g q (Cx - F
Cz)].
Si Cx - F Cz < 0
On est alors dans le cas où F > Cx / Cz. On verra dans les applications numériques que cela correspond à une phase de freinage. Comme le calcul de t2 - t1 est alors sans grand intérêt, je ne développe pas ce cas ici.
Ceci dit, il suffit de poser q2 = - Q puis de procéder à l'intégration qui donne un résultat en arg th(v / q)...
Recherche de d en fonction de v
Si dv/dt est non nul (c'est le cas) dd/dv = (dd/dt) / (dv/dt) =
V / (dv/dt) = Vs v / (dv/dt).
Donc, puisque - dv / dt = g (Cx - F Cz) (v2 +
q2) / [a (αd - 1) Vs], on a
- dd/dv = a (αd - 1) Vs2 v / [g (Cx - F
Cz) (v2 + Q)]
- dd/dv = [2 m / (ρ S)] v / [(Cx - F Cz) (v2 +
Q)]
- dd = [m / (ρ S)] 2 v dv / [(Cx - F Cz) (v2 +
Q)].
L'intégration donne :
- d = [m / (ρ S)] ln(v2 + Q) / (Cx - F Cz) +
Cte.
On note que le signe de Q n'intervient pas.
Quand on décélère de la vitesse
v1 à la vitesse v2, on parcourt
Δd = [m / (ρ S)] ln[(v12 + Q) /
(v22 + Q)] / (Cx - F Cz).
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